1樓：葉南
已知a b c是互不相等的正數 求證
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
證明 如果瞭解柯西不等式,那麼很簡單
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
<==> 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附證 設2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,則所證不等式等價於
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
<==> (x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
<==> y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
<==> (y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因為 y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.
所以上式顯然成立.
2樓：匿名使用者
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立
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