平行六面體用向量求體積公式是什么?怎么推導的

2023-02-05 07:20:34 字數 3494 閱讀 9914

1樓:庹甜恬

平行6面體的體積等於三邊向量的混合積的絕對值。

首先底邊兩個向量的 外積模的大小是底面積,那麼體積就等於底面積乘以高,也就是乘以側楞在底面法向上的投影,而外積本身的方向就是底面的法向,從而只 最終結果就為 三個邊向量的混合積

這個問題可以用空間向量的混合積來計算,

首先,可以把三條邊作為三個基底向量,計算它們兩兩之間的叉積。這是這個問題中最難的一步,較為簡便的方法是待定係數法,即用三個基底表示三個積。

然後,可以用向量叉積的行列式定義,計算兩邊所在的向量的叉積,再與另一個邊求數量積,所得結果的絕對值就是體積。

整個過程較為冗長、煩瑣,難以總結出一個公式。

公式:土方量v=1/3h(s上+√(s下*s上)+s下)

比如s上=140cm s下=60cm

v=1/3*3*(140+60+√140*60)=291.65m2

基坑下底長10m,下底寬6m 基坑上底長14m ,上底寬10m 開挖深度3m ,開挖坡率1:0.5 求基坑開挖土方量 、

圓柱體:體積=底面積×高

長方體:體積=長×寬×高

正方體:體積=稜長×稜長×稜長.

錐 體: 底面面積×高÷3

臺 體: v=[ s上+√(s上s下)+s下]h÷3

球缺體積公式=πh2(3r-h)÷3

球體積公式:v=4πr3/3

稜柱體積公式:v=s底面×h=s直截面×l (l為側稜長,h為高)

稜臺體積:v=〔s1+s2+開根號(s1*s2)〕/3*h

注:v:體積;s1:上表面積;s2:下表面積;h:高。

面積:長方形=長乘寬,正方形=邊長的平方,三角形=底邊乘高除以2,梯形=(上底+下底)乘高除以2,平行四邊形=底邊乘高,圓=圓周率pi乘半徑的平方

體積:長方體=長乘寬乘高, 正方體=邊長的立方,圓柱體等=底面圓的面積乘高

一 周長計算公式:⒈ 長方形的周長=(長+寬)×2⒉ 正方形的周長=邊長×4 ⒊ 圓的周長: c = 2πr⒋ 正方體的稜長總和=稜長×12  5.

長方體的稜長總和=(長+寬+高)×4 二 面積計算公式:⒈ 長方形的面積=長×寬 ⒉ 正方形的面積=邊長×邊長  ⒊ 平行四邊形的面積=底×高  ⒋ 三角形的面積=底×高÷2 ⒌ 梯形的面積=(上底+下底)×高÷2 ⒍ 圓的面積:s=πr²⒎ 長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 ⒏ 正方體的表面積=(稜長×稜長)×6⒐ 圓柱體的側面積=底面周長×高 ⒑ 圓柱體的表面積=側面積+底面積×2 (三)體積計算公式:

⒈長方體的體積=長×寬×高⒉ 正方體的體積=稜長×稜長×稜長 ⒊ 圓柱體的體積=底面積×高⒋ 圓錐體的體積=底面積×高×1/3

2樓:齊麗緒恩

v=|(a1×a2).a3|

證明:由內積公式,

(a1×a2).a3=

|a1×a2||a3|cosa

(a為向量a1×a2與a3夾角)

|a1×a2|=|a1||a2|

sinb

(b為向量a1與a2夾角)

於是,顯然,|a1×a2|為以|a1|和|a2|為邊構成的平行四邊形的面積s,

而|a3|cosa

,則是以|a1|和|a2|為邊構成的平行四邊形為底面的平行六面體的高,

故v=|(a1×a2).a3|

如何證明平行六面體的體積向量公式?

3樓:巨淑英裔婉

平行6面體的體積等於三邊向量的混合積的絕對值。

首先底邊兩個向量的

外積模的大小是底面積,那麼體積就等於底面積乘以高,也就是乘以側楞在底面法向上的投影,而外積本身的方向就是底面的法向,從而只

最終結果就為

三個邊向量的混合積

4樓:

||v=|(a1×a2).a3|

證明: 由內積公式,

(a1×a2).a3= |a1×a2||a3|cosa (a為向

量a1×a2與a3夾角)

|a1×a2|=|a1||a2| sinb (b為向量a1與a2夾角)

於是,顯然,|a1×a2|為以|a1|和|a2|為邊構成的平行四邊形的面積s,

而|a3|cosa ,則是以|a1|和|a2|為邊構成的平行四邊形為底面的平行六面體的高,

故v=|(a1×a2).a3|

5樓:匿名使用者

平行六面體的體積為底面面積乘以高,而底面面積大小就是兩邊向量的差積的模,差積向量是垂直於底面的,這個差積方向單位向量再跟高(斜高)稜的點積即為平行六面體的高,所以平行六面體的體積就是同一頂點三稜的向量的混合積(也即你說的體積向量公式)

如何證明平行六面體的體積向量公式

6樓:匿名使用者

平行6面體的體積等於三邊向量的混合積的絕對值。

首先底邊兩個向量的 外積模的大小是底面積,那麼體積就等於底面積乘以高,也就是乘以側楞在底面法向上的投影,而外積本身的方向就是底面的法向,從而只

最終結果就為 三個邊向量的混合積

如何求一個平行六面體的體積?

7樓:匿名使用者

不知道算得對不對啊~最後那個公式實在不會化簡了~~帶入一些數值算了下,比如說a=b=c=89度,大概是0.9995abc;

a=b=c=60度,體積是0.707abc(根號2分之一abc)補充下,剛才用立體幾何的演算法算了下60度的也是這個結果~還有一個圖~~

8樓:匿名使用者

這個問題可以用空間向量的混合積來計算,

首先,可以把三條邊作為三個基底向量,計算它們兩兩之間的叉積。這是這個問題中最難的一步,較為簡便的方法是待定係數法,即用三個基底表示三個積。

然後,可以用向量叉積的行列式定義,計算兩邊所在的向量的叉積,再與另一個邊求數量積,所得結果的絕對值就是體積。

整個過程較為冗長、煩瑣,難以總結出一個公式。

9樓:韋默索冰真

程式的編寫並不複雜,主要是數學計算.

不妨先從解析幾何的角度加以說明,直接利用向量積的幾何意義求平行六面體的體積

matlab程式:

k=[a1,b1,c1;a2,b2,c2;a3,b3,c3];

v=abs((d11-d12)*(d21-d22)*(d31-d32)/det(k))

注:需要輸入d11,d12,...,d32的數值;det(k)=g

各立體圖形的體積公式是怎麼樣推匯出來的?

10樓:電磁轉換

你好,幾何體積推倒要用到高數微積分,如果沒學過,講再好也沒用。

11樓:冬致離別

人教版高中數學必修2有一些簡單的規則立體圖形體積。複雜的要用微積分,有興趣的話上大學可以學。

長方體和正方體和圓柱是底面積乘高,圓錐是通過實驗得出來的:等底同高的圓柱桶裝滿沙子,要三個圓錐才能裝滿。

12樓:地球裡的某個銀

目測這是小學題的吧。。