1樓：網友
任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那麼，命題對所有自然數都真。
n'是n的後繼數，即n'=n+1）
假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真"這句話中n是任意的，如果我們取n=1,則可以推出n=2時命題也成立（因為已經證明了n=1成立）；取n=2推出n=3成立；……
因為n是任意的，即n可以取所有自然數，所以可以推出「命題對所有自然數都真」
2樓：半浮者
這個公理說的是數學歸納法。上大學之前就會學的一種證明方法。確切的說法是：
要證明自然數都有某種性質，那麼首先要證明1有這個性質，然後假定n有這個性質（n是任意自然數），如果由此能夠證明n+1也有這個性質，那麼就證明了所有自然數都有這種性質。
3樓：網友
這個就是數學歸納法的原理，就像多公尺諾骨牌一樣。
皮亞諾公理的定義
4樓：網友
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下： ⅰ0是自然數； ⅱ每乙個確定的自然數a，都有乙個確定的後繼數a' ，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。
可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。
因此，我們要對自然數結構再做一下限制： ⅲ0不是任何自然數的後繼數； 但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。
看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。 ⅳ如果b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c； 最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 ，同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。
設s⊆n，且滿足2個條件（i）0∈s；（ii）如果n∈s，那麼n'∈s。則s是全體自然數的集合，即s=n。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性) 注：
歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為「n=0或n為其它數的後繼數」，那麼滿足歸納公設的條件。
若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。
皮亞諾公理有什麼用？
5樓：網友
皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設，是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。
皮亞諾公理是針對於自然數的公理系統，而加法適用於整個複數集。
如何理解皮亞諾定理？
6樓：網友
設d為r × r 的乙個開子集，以及乙個連續函式：
皮亞諾存在定理：定義在 d 上的乙個一階線性常微分方程（其中 ）必然有區域性解。也就是說，必定存在乙個關於 的鄰域 i，以及乙個函式：滿足。
皮亞諾公理的乘法性質
7樓：手機使用者
m·(n+k)=m·n+m·k。
證明：當n=0時， m·(0+k)=m·k =0+m·k=m·0+m·k，因此乘法分配律對n=0成立。
假設結論對n成立， 下證結論對n'成立。
m·(n'+k)=m·(n+k)' 加法定義)
m·(n+k)+m (乘法定義)
m·n+m·k)+m (歸納假設)
m·n+(m·k+m)=m·n+(m+m·k)=(m·n+m)+m·k(加法結合律、交換律)
m·n'+m·k (乘法定義), 因此結論對n'也成立， 由數學歸納原理知， 乘法分配律成立。 (m·n)·k=m·(n·k)。
當k=0時，(m·n)·0=0 (乘法定義)
m·(n·0)=m·0=0 (乘法定義)。
假設結論對k成立， 即(m·n)·k=m·(n·k)。 下證結論對k'成立。
m·n)·k'=(m·n)·k+m·n (乘法定義)
m·(n·k')=m·(n·k+n) (乘法定義)
m·(n·k)+m·n (乘法分配律)
m·n)·k+m·n (歸納假設), 因此結論對k'也成立， 由數學歸納原理知， 乘法結合律成立。 當 n=0時，由乘法定義0·0=0, 結論成立。
假設結論對n成立， 即0·n=0。 下證結論對n'成立。
0·n'=0·n+0 (乘法定義)
0+0 (歸納假設)
0 (加法定義)
因此， 0·n『=0, 結論對n』也成立， 由數學歸納原理知，結論成立。 當m=0時， 由於n'·0=0(乘法定義)
又n·0+0=0+0 (乘法定義)
0 (加法定義), 因此n'·0=n·0+0, 結論成立。
假設結論對m成立， 即n'·m=n·m+m. 下證結論對m'成立。
n'·m'=n'·m+n' (乘法定義)
n·m+m)+n' (歸納假設)
n·m+m)+(n+1) (後繼運算)
n·m+n)+(m+1) (加法運算的性質)
n·m'+m' (乘法定義和後繼運算)
因此結論對m'也成立， 由數學歸納原理結論成立。 m·n=n·m。
當m=0時， 0·n=0=n·0, 結論成立。
假設結論對m成立， 即m·n=n·m. 下證結論對m'成立。
n·m'=n·m+n (乘法定義)
m·n+n (歸納假設)
m'·n(前文結論)
因此結論對m'也成立， 由數學歸納原理乘法交換律成立。
皮亞諾公理的乘法的定義
8樓：手機使用者
乘法是滿足以下兩種規則的運算：
自然數m，m · 0 = 0 ；
自然數m，n，m · n' = m ·n +m 。
有了這兩條僅依賴於「後繼」關係的乘法定義，任意兩個自然數相乘的結果都能確定出來了。
皮亞諾公理的更正式的定義
9樓：稻子
乙個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(x, x, f)：
x是一集合，x為x中一元素，f是x到自身的對映；
x不在f的值域內；
f為一單射。
若a為x的子集並滿足x屬於a,且若a屬於a, 則f(a)亦屬於a，則a=x。
該結構與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設是一致的：
1° 自然數集p不是空集；
2° p到p記憶體在a→a直接後繼元素的一一對映；
3° 後繼元素對映像的集合是p的真子集；
4° 若p任意子集既含有非後繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的後繼元素，則此子集與p重合。
能用來論證許多平時常見又不知其**的定理！
例如：其中第四個假設即為應用極其廣泛的歸納法第一原理（數學歸納法）的理論依據。
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