1樓:曉峰南唐
通法:先求導判斷單調性找出極值。
要是二次函式求對稱軸比較簡單。
還有可以利用影象,做出大致影象。
**高中數學函式最值問題求解方法
2樓:新野旁觀者
最值問題是高中數學中永恆的話題,可綜合地考查函式的性質、導數、均值不等式、線性規劃、向量等知識的應用;涉及到代數、三角、幾何等方面的內容;體現數學中的數形結合、分類討論、轉化與化歸、函式與方程等思想與方法,並能綜合考查學生的數學思維能力、分析和解決問題的能力,是歷屆高考中的焦點、熱點、難點.本文就近幾年高考中的常見型別略作**,難免有不當之處,權作拋磚引玉.
中國**網 /9/view-4821051.htm
一、代數問題
一般通過考察常見函式的單調性,或者能夠利用導數問題研究其單調性,在定義域內求最值,或者通過方程思想,得到不等式再求最值.
【例1】(2008·江西·第9題)若02,=,==2.
評註:求在有限閉區間上的二次函式的最值問題,關鍵抓住兩點:1二次函式影象的開口方向;2二次函式影象的對稱軸與所給閉區間的相對位置關係.
此型別最值必然在區間端點或影象頂點處取得.
【例3】(2005·全國卷ii·文21題改編)
設a為實數,函式,求的最值.
解析:令=3x2-2x-1=0得=-,=1
∵,≥0,
∴函式在上是增函式,
∴==a+
顯然不存在最小值.
與本題類似,2008全國卷i第19題、全國卷ii第22題(文)都出現了與導數有關的判斷函式單調性的問題.
評註:導數知識放在高中階段學習,為高中數學增添了許多亮點,同時也為高考數學的考查方向和難度提供了許多有利的條件.
【例4】已知,,求的最小值.
解法1:==5+≥5+=9
(當且僅當且x+y=1,即時取「=」號)
∴的最小值等於9.
說明:此法符合均值不等式的條件「一正二定三相等」.
解法2:∵x+y=1,令,()∴==
==≥=9
說明:此解法運用了三角換元,最後又運用了重要不等式,與法1實質相同.
解法3:利用柯西不等式
==≥==9
說明:實質上令,,是的應用.
解法4:令=t,由,消去y可得:
轉化為上述方程在內有解,故有,可得到t≥9.
所以最小值等於9.
說明:本解法體現了轉化思想、方程思想.
評註:對本題的四種解法中,我們可看到解法1、解法2是較為簡潔的.我們提倡一題多解,善於發現、總結,從中找出最優解法,逐步提高分析問題、解決問題的能力.
二、三角函式問題
三角函式作為一種重要的函式,也是高考考查的重點.三角函式常藉助三角函式的有界性或利用換元轉化為代數的最值問題.
【例5】(2008·全國卷ii·第8題)若動直線與函式與的影象分別相交於m、n兩點,則的最大值為( ).
a.1 b. c. d.2
分析:畫影象,數形結合是很難得到答案的.
易得,,則,利用正弦函式的有界性易知最大值為.
【例6】(2004全國卷)求函式的最大值.
解析:,
而,∴評註:令,則,這樣轉化為區間或其子集上的二次函式的值域問題.類似的結構還有:,,等.
【例7】(2008重慶·第10題)
函式的值域為( ).
a. b. c. d.
分析:觀察式子結構,若化為
∵,∴但最小值不能直接觀察出.因為分子取最小值時,分母取不到最小正數.
變形為另一種形式:,觀察結構,
再配湊,會發現什麼?
令,,問題轉化為求的最值問題,數形結合,易知的範圍是,從而選b.
可見向量作為工具的重要應用,應多觀察、聯想、對比、發現,從中尋找解決問題的最佳途徑.
上述介紹的數學思想與方法是根據近幾年部分高考試題總結的,也是最值求解問題中最常用的,只要在平時注意歸納,加強訓練,就能夠熟練運用.但沒有任何一種方法能夠「包打天下」,因此在具體實施時,還需要注意解題方法的選擇,及各種思想方法的綜合使用,實現優勢互補,這樣才能夠「遊刃有餘」.
一道高中數學求最值問題
3樓:飛花雪月
第一問用幾何意義來做
因為x2+y2=1,(x,y)圓心為原點,半徑為1的圓上的點所以第一問即求(x,y)與(1,2)的斜率畫圖。。。。發現過(1,2)的圓的一條切線的斜率最大得斜率最大值=3/4
第二問用三角函式做
因為x2+y2=1,所以設x=sinx y=cosxsinx/3+cosx/4=根號裡(1/3的平方+1/4的平方)sin(x+a)
因為sin(x+a) 的最大值=1,所以sinx/3+cosx/4的最大值=1/3的平方+1/4的平方=5/12
高中數學對於函式的單調性與最值問題,其求解方法大概
4樓:樂觀的
在高中數學中, 函式問題既求導 求完了導儘量化完我們常見的函式,如果匯出的是一元二次方程, 導數值是負的則原函式減,導函式值是正的則原函式增。極值點是根據一元二次方程的開口方向。開口向上則有極小值點,開口向下則有極大值點。
如果匯出的是一元三次方程,則我們再次求導,也就是二階導。
(若你還是不清楚可以問我)
5樓:匿名使用者
單調函式就是函式值隨x的變化一直增加或減小
如何求解高中數學函式最值問題
6樓:匿名使用者
lz您好...
高中數學十有**考函式最值是考下面4種
導數法,這是基礎中的基礎,利用導數求解函式的單調性,找出其中的極值,再從極值和端點值中找出最大和最小,如果最大或者最小有一個不存在,要有極限的思想思考
均值定理對應的打鉤函式最值問題(形如y=ax+k/x,其中a,k同號,這個直接用均值定理求就可以,只是注意如果定義域x<0,結果是倒過來的且前面要加負號);這可以擴充套件到三個數相乘的最值,或者反過來...
熟悉常見的函式(初中的一次,二次,反比例函式,高中見的三角,指數,對數,常見的冪函式[雖然不是必要]),請根據定義域和值域,利用函式單調性直接寫答案.碰到常見函式千萬不要花時間去求導!請在日常就100%掌握他們.
絕對值函式,請用絕對值不等式一章內容處理...這個在不等式選考中是熱門考點,比柯西還熱..
剩下的求最值都是"雕蟲小技",不一定要求掌握,但是掌握了能事半功倍的型別(要具體學習掌握又得花時間,依據需要來定吧...)
這些雕蟲小技從頻率高到低大概是...
換元...有的題目看著根號很不順眼的時候,完全可以換元,換成你熟悉的函式,在換元的過程中,我們無形中使用了複合函式的性質,即內層的函式的值域,是外層函式的定義域這一結論.換元又分常規引數換元,也有三角換元等形式,但總而言之,換元的根本目的是讓複雜的函式變簡單,能變成前文的第三條我拍手較好,最差也必須變成前文的第一條
數型結合...舉個簡單例子,假設y=f(x)上存在一點p(x,y),又有一條線段ab,abp面積顯然和p點橫座標是函式關係g(x),求g(x)函式最值...想什麼呢?
圖畫出來,這個三角形有一底邊ab是固定的,高不固定,是點p到ab所在直線距離!所以這一題立刻變成點到直線距離的最值問題!可能接下來就變成了可行域問題了(請使用直尺和三角板推一推!
)放縮法...說實話,放縮法大概有10年沒在全國卷考過了.近5年也只有遼寧的13年卷子,用放縮比較簡便,不用放縮也能做;2023年全國卷1也可以放縮,但是我推薦是建構函式.
實話說放縮的技巧性很大,放縮的步子不可邁太寬,這對中等學生以下實在是災難...在此我只推薦大家能記住下面幾種常見的型...
e^x≥x+1
x-1≥ lnx ≥1 - 1/x
√(1+x) ≤(1+x)/2
此外還有數列的裂項,數列的最值一般也是放縮得到的...(但有時數列的問題還有數學歸納法那個大殺器...)
總而言之,我心目中最後這個放縮法,留給學有餘力的學生自學.其他方法,重要性由前至後都需掌握
高中數學 函式最大值問題
7樓:匿名使用者
換元,令x+1=t,然後分子分母同除以t,要想值最大,顯然t要取正數,然後對分母使用基本不等式,分母有最小值,整個式子有最大值。
8樓:匿名使用者
學過導數沒?如果學過就這樣
y』=((x^2+8)-2x(x+1))/(x^2+8)^2取y'=0可得
x=2或者-4
x=2時,y=1/4
x=-4時,y=-1/8
所以當x=2時,y最大,為1/4
9樓:
令 t=x+1 ,顯然t要大於0 於是 y=t/(t^2-2t+9)=1/(t-2+9/t)
要求y的最大值 就是求 t+9/t 的最小值
而t+9/t>=6 (因為a^2+b^2>=(a+b)^2) 所以 y最大為 1/(6-2)=1/4
10樓:『蘇菲·瑪索
y=(x+1)/(x^2+8)
yx^2 +8y=x+1
yx^2 -x+8y-1=0
關於x的方程
△=1-4y(8y-1)≥0
(4y-1)(8y+1)≤0
-1/8≤y≤1/4
所以最大值為1/4
高中數學函式最值問題,淺析高中數學函式最值問題求解方法
這是個雙鉤bai函式,其影象du在 1 和 1,上zhi單調遞dao增,在專 1,0 和 0,1 上單調遞減。可以畫一屬下影象,就看出來了。對勾函式 則在 0,1 遞減 f 1 2 所以值域是 2,本題應用基 copy本不等式求最值的題目 f x x 1 x x 1 x 2倍根號下 x 1 x x ...
高中數學導數如圖求詳細過程謝謝,高中數學導數如圖求詳細過程謝謝
直接求導算極值 g x 1 2x2 alinx a 1 xg x x a x a 1 x2 a 1 x a x x 1 x a x 因為a 0 x a 捨去 或x 1 即是當x 1是g x 有最小值,因為1 e 回1 g x 在 0,1 e 單調答遞減,在 1 e,1 單調遞減在 1,e 單調遞增 ...
高中數學集合問題,高中數學集合的概念
1 s 0,正無窮 顯然不成立,x 0,y 1,x y 1 0 2 肯定,取x y是s中元素,則x y 0屬於s3 不一定,例如 s 4 不行,專例如s t 顯然對於屬t 中0和10 1 1不屬於t,但是s包含於t 故2是真命題 因為a 2也滿足條件 ci m並n 解析 集合i表示直角座標系內的所有...