高一數學必修一知識點總結

2021-03-07 06:16:46 字數 5667 閱讀 3013

1樓:手機使用者

一、集合有關概念

1. 集合的含義

2. 集合的中元素的三個特性:

(1) 元素的確定性,

(2) 元素的互異性,

(3) 元素的無序性,

3.集合的表示: 如:,

(1) 用拉丁字母表示集合:a=,b=

(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。

 注意:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集) 記作:n

正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r

1) 列舉法:

2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。 ,

3) 語言描述法:例:

4) venn圖:

4、集合的分類:

(1) 有限集 含有有限個元素的集合

(2) 無限集 含有無限個元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例: b= 「元素相同則兩集合相等」

即:① 任何一個集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)

③如果 ab, bc ,那麼 ac

④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

三、集合的運算

運算型別 交 集 並 集 補 集

定 義 由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作『a交b』),即a b={x|x a,且x b}.

由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合,叫做a,b的並集.記作:a b(讀作『a並b』),即a b =).

設s是一個集合,a是s的一個子集,由s中所有不屬於a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或餘集)

記作 ,即

csa= 韋恩

圖示性質 a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b a

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ.

例題:1.下列四組物件,能構成集合的是 ( )

a某班所有高個子的學生 b著名的藝術家 c一切很大的書 d 倒數等於它自身的實數

2.集合的真子集共有 個

3.若集合m=,n=,則m與n的關係是 .

4.設集合a= ,b= ,若a b,則 的取值範圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學實驗做得正確得有31人,

兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有 人。

6. 用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合m= .

7.已知集合a=, b=, c=, 若b∩c≠φ,a∩c=φ,求m的值

二、函式的有關概念

1.函式的概念:設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意一個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函式.記作:

y=f(x),x∈a.其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.

注意:1.定義域:能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。

求函式的定義域時列不等式組的主要依據是:

(1)分式的分母不等於零;

(2)偶次方根的被開方數不小於零;

(3)對數式的真數必須大於零;

(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.

(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等於零,

(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.

 相同函式的判斷方法:①表示式相同(與表示自變數和函式值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

2.值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函式圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角座標系中,以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標,函式值y為縱座標的點p(x,y)的集合c,叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象.c上每一點的座標(x,y)均滿足函式關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x,y),均在c上 .

(2) 畫法

a、 描點法:

b、 圖象變換法

常用變換方法有三種

1) 平移變換

2) 伸縮變換

3) 對稱變換

4.區間的概念

(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

(3)區間的數軸表示.

5.對映

一般地,設a、b是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合a中的任意一個元素x,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:a b為從集合a到集合b的一個對映。記作f:

a→b6.分段函式

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。

(2)各部分的自變數的取值情況.

(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的並集.

補充:複合函式

如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 稱為f、g的複合函式。

二.函式的性質

1.函式的單調性(區域性性質)

(1)增函式

設函式y=f(x)的定義域為i,如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1,x2,當x1

如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1

注意:函式的單調性是函式的區域性性質;

(2) 圖象的特點

如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函式的圖象從左到右是上升的,減函式的圖象從左到右是下降的.

(3).函式單調區間與單調性的判定方法

(a) 定義法:

○1 任取x1,x2∈d,且x1

○2 作差f(x1)-f(x2);

○3 變形(通常是因式分解和配方);

○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

○5 下結論(指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性).

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)複合函式的單調性

複合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:「同增異減」

注意:函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.

8.函式的奇偶性(整體性質)

(1)偶函式

一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函式.

(2).奇函式

一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函式.

(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵

偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.

利用定義判斷函式奇偶性的步驟:

○1首先確定函式的定義域,並判斷其是否關於原點對稱;

○2確定f(-x)與f(x)的關係;

○3作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函式;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函式.

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理,或藉助函式的圖象判定 .

9、函式的解析表示式

(1).函式的解析式是函式的一種表示方法,要求兩個變數之間的函式關係時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函式的定義域.

(2)求函式的解析式的主要方法有:

1) 湊配法

2) 待定係數法

3) 換元法

4) 消參法

10.函式最大(小)值(定義見課本p36頁)

○1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值

○2 利用圖象求函式的最大(小)值

○3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值:

如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

例題:1.求下列函式的定義域:

⑴ ⑵

2.設函式 的定義域為 ,則函式 的定義域為_ _

3.若函式 的定義域為 ,則函式 的定義域是

4.函式 ,若 ,則 =

6.已知函式 ,求函式 , 的解析式

7.已知函式 滿足 ,則 = 。

8.設 是r上的奇函式,且當 時, ,則當 時 =

在r上的解析式為

9.求下列函式的單調區間:

⑴ (2)

10.判斷函式 的單調性並證明你的結論.

11.設函式 判斷它的奇偶性並且求證: .

2樓:血之殘殤

一 集合與簡易邏輯

集合具有四個性質 廣泛性 集合的元素什麼都可以

確定性 集合中的元素必須是確定的,比如說是好學生就不具有這種性質,因為它的概念是模糊不清的

互異性 集合中的元素必須是互不相等的,一個元素不能重複出現

無序性 集合中的元素與順序無關

二 函式

這是個重點,但是說起來也不好說,要作專題訓練,比如說二次函式,指數對數函式等等做這一型別題的時候,要掌握幾個函式思想如 建構函式 函式與方程結合 對稱思想,換元等等

三 數列

這也是個比較重要的題型,做體的時候要有整體思想,整體代換,等比等差要分開來,也要注意聯絡,這樣才能做好,注意觀察數列的形式判斷是什麼數列,還要掌握求數列通向公式的幾種方法,和求和公式,求和方法,比如裂項相消,錯位相減,公式法,分組求和法等等

四 三角函式

三角函式不是考試題型,只是個應用的知識點,所以只要記熟特殊角的三角函式值和一些重要的定理就行

五 平面向量

這是個比較抽象的把幾何與代數結合起來的重難點,結體的時候要有技巧,主要就是把基本知識掌握到位,注意拓展,另外要多做題,見的題型多,結體的時候就有思路,能夠把問題簡單化,有利於提高做題效率

高一的數學只是入門,只要把基礎的掌握了,做題就沒什麼大問題了,數學就可以上130

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