1樓：匿名使用者
數論基本概念之一。
當a、m的最大公約數為1，
即(a，m）＝1〕時，
若m整除（xx－a），即m | (xx-a) 注：我也寫作(xx-a)|:m,
也即是xx≡ a（mod m）〕有解，則：
稱a為模m的二次剩餘（或平方剩餘）； 否則，稱a為模m二次非剩餘（或平方非剩餘）。
解一般二次同餘式axx＋bx＋c≡0（mod m）的問題可歸結為解xx≡n（mod m）問題（見同餘）。
從17世紀到18世紀，費馬、尤拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究，證明了一些定理[1]並作出了一些相關的猜想[2]，但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》（disquisitiones arithmeticae，2023年）中首次引入了術語「二次剩餘」與「二次非剩餘」，並宣告在不至於導致混淆的行文中，可以省略「二次」兩字。
為了得到關於一個整數的所有二次剩餘（在一個完全剩餘系中），我們可以直接計算0,
1, …, n − 1的平方模的餘數。但只要注意到aa ≡ (n − a)^2 (mod
n)，我們就可以減少一半的計算量，只算到n/2了。於是，關於的二次剩餘的個數不可能超過[n/2] + 1=[(n+1)/2]=n/2（n偶）或
(n + 1)/2 （n奇）[3]。
兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。
2樓：匿名使用者
aaa 二次剩餘(quadratic residue)
數論基本概念之一。
當a、m的最大公約數為1，即(a，m）＝1〕時，
若m整除（xx－a），即m | (xx-a) 注：我也寫作(xx-a)|:m,
也即是xx≡ a（mod m）〕有解，則：
稱a為模m的二次剩餘（或平方剩餘）； 否則，稱a為模m二次非剩餘（或平方非剩餘）。
解一般二次同餘式axx＋bx＋c≡0（mod m）的問題可歸結為解xx≡n（mod m）問題（見同餘）。
從17世紀到18世紀，費馬、尤拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究，證明了一些定理[1]並作出了一些相關的猜想[2]，但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》（disquisitiones arithmeticae，2023年）中首次引入了術語「二次剩餘」與「二次非剩餘」，並宣告在不至於導致混淆的行文中，可以省略「二次」兩字。
為了得到關於一個整數的所有二次剩餘（在一個完全剩餘系中），我們可以直接計算0, 1, …, n − 1的平方模的餘數。但只要注意到aa ≡ (n − a)^2 (mod n)，我們就可以減少一半的計算量，只算到n/2了。於是，關於的二次剩餘的個數不可能超過[n/2] + 1=[(n+1)/2]=n/2（n偶）或 (n + 1)/2 （n奇）[3]。
兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。
參考資料：
[1] lemmemeyer, ch. 1
[2] lemmermeyer, pp 6–8, p. 16 ff
[3] gauss, disquisitiones arithmeticae（以下稱da）, art. 94
bbb下面講下二次剩餘的判別方法，即二次剩餘特徵(legendre符號)的計算。
legendre符號：是一個由阿德里安-馬裡·勒讓德在2023年嘗試證明二次互反律時引入的函式[1][2]。這個符號是許多高次剩餘符號的原型[3]；其它延伸和推廣包括雅可比符號、克羅內克符號、希爾伯特符號，以及阿廷符號。
記作：l(a/p)，(a/p)右下角標l，在不致混淆時簡作(a/p)。
又，legendre符號或稱二次特徵，是一個狄利克雷特徵。
參考資料：
[1]^ a. m. legendre essai sur la theorie des nombres paris 1798, p 186
[2]^ 在尤拉（2023年）和勒讓德（2023年）的作品中有所講述。首先由高斯在2023年證明，在da（2023年）出版；arts. 107-144（第一個證明），253-262（第二個證明）
[3]^ lemmermeyer, p.xiv 「即使在像雙二次互反律的簡單情況下，我們仍然需要區分四個不同的符號，即z[i]中的二次和雙二次剩餘符號，z中的勒讓德符號，以及z中的有理二次剩餘符號……」
規定：(a/p)= 1, 當a為p的二次剩餘；-1, 當a為p的二次(非)剩餘。
特殊補充定義：(a/p)=0，當a|:p.一般情況下我們不考慮補充定義。
計算方法(以下p，q為相異奇素數)：
顯然，當a,p互質時，(aa/p)=1；
尤拉判別法：(a/p)==a^((p-1)/2) mod p ；
同餘性：(a/p)=((a modp) /p)；
因子分解：(ab/p)=(a/p)(b/p)，易見可以向多因子的分解進行推廣。
二次互反律：p,q為奇素數，則有
(p/q)=(q/p)*(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)=(q/p)*(-1)^( [p/2]*[q/2] )
或(p/q)*(q/p)=(-1)^( [pmod4/2] * [qmod4/2] )；
注, 這裡[p/2]表示高斯取整函式，即不超過p/2的最大整數，或寫作int(p/2).
我們現在定義一個函式，用來簡化(-1)^( [p/2]*[q/2] )。
定義 amr 表示絕對最小剩餘，即abs min remainder。或在r後新增下標|min|來表示。
如 2 ==-1 mod 3, 寫成 2 amr 3=-1； 3 ==-1 mod 4, 寫成 3 amr 4=-1。
注：被除數dividend=除數divisor*商quotient+ 絕對最小剩餘amr, 其中 |amr|<=divisor/2
一個重要的內容有：p為奇數，則(-1)^[p/2]=(-1)^ [(p mod4)/2]=p amr 4.於是有下面的二次互反律簡化形式。
二次互反律簡化形式：
(p/q)=(q/p)*(p amr 4)^ [q/2] 或= (q/p)* (q amr 4)^ [p/2]
進一步，我們得到：
即當且僅當p與q均為-1 mod 4時，(p/q)=-(q/p).否則(p/q)=(q/p).
易見當其中出現p amr 4=1，即p==1 mod 4時，即有(p/q)=(q/p)；當出現 p amr 4=-1時，即有(p/q)=(q/p)*(q amr 4)
注：故當且僅當p與q均為-1 mod 4時，(p/q)=(q/p)*(-1)^true=(q/p)*(-1)^1=-q/p; 否則，(p/q)=(q/p)*(-1)^false=(q/p)*(-1)^0=(q/p).
bbbccc 計算要點
(aa/p)=1, 當a,p互質時;
同餘性：(a/p)=((a modp) /p)；
因子分解：(ab/p)=(a/p)(b/p)及其向多因子分解的推廣。
二次互反律簡化形式：
即當且僅當p與q均為-1 mod 4時，(p/q)=-(q/p).否則(p/q)=(q/p).
易見當其中出現p amr 4=1，即p==1 mod 4時，即有(p/q)=(q/p)；當出現 p amr 4=-1時，即有(p/q)=(q/p)*(q amr 4)
二次互反律的兩個充分且必要的補充(由此原則上可以方便的計算所有的(p/q)，其中p/q為奇素數)
補充計算式一：
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)=(-1)^[p/2]=(-1)^[(pmod4)/2]，這個我們在上面對二次互反律進行簡化時曾見到過。
現在我們看到，(p/q)=(q/p)*(-1/p)^ [q/2] =(q/p)*(-1/q)^ [p/2]
補充計算式二：
(2/p)=(-1)^((pp-1)/8)
(2/p)=(-1)^([p/2]+[p/4])
=(-1)^([(pmod8)/2]+[(pmod8)/4]) 注，此式利於速算。
=(-1)^([(pmod4)/2]+[(pmod8)/4])
=(p amr 4)*(-1)^.[(pmod8)/4]) 注，此式利於速算。
由上二者還可以得到 (-2/p)=(-1)^[p/4]==(-1)^[(pmod8)/4]
ccc其它特殊值的計算：(以下p指奇素數)
(3/p)=(p amr 3)(p amr 4) 注：此式利於速算。
證明一：
(3/p)=(p/3)*(-1)^ [p/2]=((p mod 3)/3)*(-1)^ [(p mod4)/2]=((p mod 3)/3) * (p amr 4)
因為(1/3)=1, (-1/3)=-1, 故((p mod 3)/3)=(p amr 3)
得證。證明二，列舉檢驗法。
將質數p按模12=3*4可分為四類(注意12以下與12互質的只有四個)，p=1,5,7,11 mod 12
例如質數p=13;5;7;11，分別代入(p/3)=((p mod 3)/3)*(-1)^ [(p mod4)/2]得到
(3/p)=1*(-1)^0, -1*(-1)^0, 1*(-1)^1, (-1)*(-1)^1=1*1, -1*1, 1*(-1), (-1)*(-1)
即p=1,5,7,11mod12時，(3/p)分別取值1,-1,-1,1
由前述amr的定義，易見：
(3/p)=(p amr 3)(p amr 4)
另一種演算法(計算不太方便，可能方便表述與研究)：
(3/p)=(-1)^⌈(p+1)/6⌉=(-1)^upint((p+1)/6), 這裡upint(x)即向上取整，即不小於x的最小整數。在某些程式語言中（包括數學軟體）用ceiling(x)函式。excel軟體中是ceiling(x,1)，手寫常寫成⌈x⌉.
(5/p)=(p/5)=(1 if p==1,4 mod 5; -1 if p==2,3 mod 5)
注：其實(p/5)很簡單的，因為p的既約剩餘僅有1,2,3,4四個，並且必定有且只有一半數量為平方剩餘，即有兩個。很顯然就是1,4.
證明：由二次互反律，(5/p)=(p/5)*(-1)^([p/2]*[5/2])=(p/5).
在明白上面的過程後我們知道(p/5)計算很簡單。
另一種演算法(計算不太方便，可能方便表述與研究)：
(-1)^⌊(p-2)/5⌋=(-1)^ int((p-2)/5)， 這裡int(x)是向下取整函式，即不大於x的最大整數。在某些程式語言中（包括數學軟體）用floor(x)函式。excel軟體中是floor(x,1)，手寫常寫成⌊x⌋.
(7/p)=( 1 if p==±1,±9,±25=±(1, 3^2, 5^2) mod 28 ; -1 if p==±(1-14), ±(9-14), ±(25-14)=±(13, 5, 11) mod 28)
上式很好記。從小到大寫即是 (7/p)=( 1 if p==1,3,9,19,25,27 mod 28 ; -1 if p==5, 11, 13, 15, 17, 23 mod 28)
證：引1：(7/p)=(p/7)*(-1)^([p/2]*[7/2])=(p/7)*(-1)^[p/2]=(p/7)*(p amr 4)
引2：當且僅當p=1,2,4mod7時，(p/7)=1,即7的二次剩餘有三個，即1, 4, 9==2，也即1,2,4. 其二次非剩餘即3,5,6==-4,-2,-1；也可以由(-1/7)=-1, 直接將-1乘1,2,4得到7的二次非剩餘為-1,-2,-4.
當(p/7)=1且p==1 mod 4，或(p/7)=-1且p=-1 mod 4時，得(7/p)=1，分說如下：
由p==1,2,4 mod 7及p==1 mod 4得p==1,9,25 mod 28;
由p==-1,-2,-4 mod 7及p==-1 mod 4得p==-1,-9,-25 mod 28，即p=27,19,3 mod 28.
當(p/7)=-1且p==1 mod 4，或(p/7)=-1且p=1 mod 4時，得(7/p)=-1，下略。
ddd 推廣：
雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。
一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。
二次根式的概念二次根式概念
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