1樓：匿名使用者
n元二次型化標準形，具體解題步驟：
1、寫出二次型矩陣a
2、求矩陣a的特徵值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩陣a的特徵向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特徵向量(單位化、schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn
5、構造正交矩陣p=(γ1，γ2，...，γn)
則經過座標變換x=py，得
xtax=ytby=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
相似對角化，具體解題步驟：
1、求矩陣a的特徵值 （λ1，λ2，...，λs，設λi是ni重根）
2、求矩陣a的每一個特徵值λi，求(λie-a)x=0的基礎解系（設為xi1，xi2，...，xini）
（上面兩步來判斷a是否可以對角化）
3、構造p=(x11，x12，...，x1n1，x21，x22，...，x2n2，...，xs1，xs2，...，xsns)，則
p-1ap=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)
其中有ni個λi（i=1，2，...，s）
顯然易知二者的區別。
都是先求特徵值，再特徵向量。
正交變換，需要改造特徵向量，使其滿足正交化的特徵。
相似對角化可以直接用特徵向量，對於實對稱矩陣相似的正交矩陣，則過程一樣。
實際上二次型是實對稱矩陣 ！！！
二次型的正交化就是實對稱矩陣用正交矩陣把實對稱矩陣化為對角矩陣的過程。
它是一種特殊矩陣的相似化過程。
newmanhero 2023年6月12日22:07:56
希望對你有所幫助，望採納。
2樓：攀登者
答：n元二次型化標準形，具體解題步驟：
1、寫出二次型矩陣a
2、求矩陣a的特徵值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩陣a的特徵向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特徵向量(單位化、schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn
5、構造正交矩陣p=(γ1，γ2，...，γn)
則經過座標變換x=py，得
xtax=ytby=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
相似對角化，具體解題步驟：
1、求矩陣a的特徵值 （λ1，λ2，...，λs，設λi是ni重根）
2、求矩陣a的每一個特徵值λi，求(λie-a)x=0的基礎解系（設為xi1，xi2，...，xini）
（上面兩步來判斷a是否可以對角化）
3、構造p=(x11，x12，...，x1n1，x21，x22，...，x2n2，...，xs1，xs2，...，xsns)，則
p-1ap=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)
其中有ni個λi（i=1，2，...，s）
顯然易知二者的區別。
都是先求特徵值，再特徵向量。
正交矩陣相似對角化；可逆矩陣相似對角化；可對角化；這三者有什麼區別？
3樓：當代汽車科技知識庫
p^-1ap = 對角矩陣。
正交對角化要求 p 是正交矩陣, 即p可逆且 p^-1 = p^t。
即是相似變換又是合同變換, 用於二次型。
可逆矩陣相似對角化。
一般考慮的是方陣, 並不要求方陣可逆, 要求 p 可逆。
可對角化就是a可相似對角化, 即存在可逆矩陣p使得 p^-1ap = 對角矩陣。
【求助線代】正交變換法與相似對角化的問題（已解決）
4樓：匿名使用者
對實對稱矩陣的相似對角化和正交對角化所得到的對角形元素都為特徵值。只不過變換的矩陣不同，一個是初等矩陣，一個是正交矩陣。 因為實對稱矩陣是一般矩陣的特例，所以一般矩陣能用的相似對角化方法。
得到的結論，它肯定可以適用，只不過由於特殊的性質，多了一個相似對角化方法，即正交對角化。 但是相似對角化和二次型裡的配方法等對角化是不同的。。。這個是要注意的。。。
[ ]
5樓：匿名使用者
首先要清楚實對稱矩陣有這樣的性質性質 1.實對稱矩陣特徵值為實數。 2..
實對稱矩陣一定有n個線性無關的特徵向量。 3..實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量相互正交。
對於你的問題 1.正確。由性質3得 2.
若a可以正交對角化，t^-1at=/\,兩邊取轉置，可以得到a為實對稱矩陣，若有n個不同的特徵值，則有n個正交的向量。 3.是的。
正交就說明線性無關了。。 4.不是的。
實對稱矩陣可以找到可逆矩陣p，也可以找到正交矩陣t使其對角化。 由性質2，可知必可找到p，由性質3，可知必可通過施密特正交化，單位化，找到一個正交矩陣t。
6樓：匿名使用者
推導式很清楚了。 關鍵是上面這點概念上的東西，還不是梳理很明瞭
7樓：匿名使用者
基本的性質定理要搞清楚
二次型的正交變換化標準型和合同變換化標準型有什麼不同？都是隻有平方項了，幾何意義上不都是換座標軸成 50
8樓：墨汁遊戲
一、變換不同：
正交變換的標準形，平方項前面的係數是它的特徵值。而合同變換不是的。
二次型可以用正交變換化成標準形，所化成的標準形中平方項的係數是二次型矩陣的特徵值；
二、幾何意義不同：
可以用一般的合同變換化成標準形，正交變換是特殊的合同變換。
正交變換相當於幾何中的座標旋轉，因此它不會改變圖形的形狀。
三、作用不同：
比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示兩條直線，用正交變換把左邊的二元二次型化成標準形是2y1^2, 在新直角座標系下曲線的方程是2y1^2=1, 還是兩天直線。
一般的合同變換化成的標準形不唯一，因此它沒有明顯的幾何意義，如x1^2+4x2^2=1是橢圓，但左邊的二次型可用合同變換化成y1^2+y2^2，方程就化成園的方程了。
9樓：我的穹妹
正交變換的標準形，平方項前面的係數是它的特徵值。而合同變換不是的。
10樓：匿名使用者
二次型可以用正交變換化成標準形，所化成的標準形中平方項的係數是二次型矩陣的特徵值，也可以用一般的合同變換化成標準形，正交變換是特殊的合同變換。正交變換和普通的合同變換幾何意義是不同的，正交變換相當於幾何中的座標旋轉，因此它不會改變圖形的形狀，比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示兩條直線，用正交變換把左邊的二元二次型化成標準形是2y1^2, 在新直角座標系下曲線的方程是2y1^2=1, 還是兩天直線。一般的合同變換化成的標準形不唯一，因此它沒有明顯的幾何意義，如x1^2+4x2^2=1是橢圓，但左邊的二次型可用合同變換化成y1^2+y2^2,方程就化成園的方程了。
二次型求座標變換用正交法和配方法 求得的座標變換不一樣麼？對角化的結果相不相同？
11樓：黴死我
是不一定一樣的，但是對角化後特徵值是相同的
用正交變換將二次型f x1,x2,x3 2x1 2 5x2 2 5x3 2 4x1x2 4x1x3 8x2x3化成標準型
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求教下線性代數二次型正交變換到標準型過程中如圖中這一步的詳細變換步驟和具體的做題方法，謝謝
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