1樓:匿名使用者
設θbai是向量a與b夾角,則|dub| cosθ,稱為向量b在a的方向
上的zhi投影dao.一個向量在另一回個向量方向上
的投影是
答一個數,不是向量,0°<θ<90°時,它為正值;當θ=90°時,它為0;當90°<θ≤180°時,它為負值;當θ=0°,它就等於|b|;而當θ=180°時,它等於-|b|.
可以將向量a與b的數量積看成是向量a的|a|與b在a的方向上投影|b| cosθ的乘積.
兩向量a與b的數量積是一個實數,不是一個向量,其值可以為正(當a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時),也可以為負(當a≠0,b≠0,90°<θ≤180°時),還可以為0(當a=0或b=0或θ=90°時).
2樓:枝秋英庫庚
就是數量的一般概念。
兩個向量的數量積是一個數量,等於它們的模的乘積與它們夾角的餘弦的乘積。
向量數量積的幾何意義是什麼?
3樓:cy辭言
向量數量積的幾何意義:一個向量在另一個向量上的投影。
定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個向量a和b,它們的夾角為c,則a的模乘以b的模再乘以c的餘弦稱為a與b的數量積(又稱內積、點積。)
即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積
擴充套件內容:
向量積性質
幾何意義及其運用
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時,所構成平行四邊形的面積。據此有:混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c為稜的平行六面體的體積。
[1]
代數規則
1.反交換律:a×b= -b×a
2.加法的分配律:a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標量乘法相容:(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結合律,但滿足雅可比恆等式:a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律,線性性和雅可比恆等式別表明:具有向量加法和叉積的 r3 構成了一個李代數。
6.兩個非零向量a和b平行,當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式,而且非常有用:
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下:
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac - cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是,這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形:
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是:
這是一個在四元數代數中範數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i,j,k滿足下列等式:
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通過這些規則,兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i,j,k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i+ a2j+ a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參看四元數(空間旋轉)。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質:
雙線性性:x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交換律:x×y+y×x= 0;
同時與 x 和 y 垂直:x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恆等式:|x×y|2 = |x|2 |y|2 - (x·y)2;
不同於三維情形,它並不滿足雅可比恆等式:x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
4樓:匿名使用者
簡單講,倆個平面向量的數量積,等於向量1在向量2上的投影長度乘以向量2的長度。結果是一個數
5樓:毛果芽
定義:向量的點積又稱數量積,是將兩個向量對應位一一相乘之後再求和所得的數值。
對於向量a和向量b:
點積為一標量。
幾何意義
點積可以用來求兩個向量之間的夾角。
當兩向量垂直時,點積為0。
當兩非零向量間的夾角<90度時,點積大於0。
當兩非零向量間的夾角》90度時,點積小於0。
向量的點積在與圖形學相關的計算機程式設計中應用非常廣泛。
6樓:匿名使用者
物理上可表示力所做的功,即移動方向上的力的大小與位移的距離的乘積。
向量的數量積是什麼?
7樓:梅秀梅泥黛
就是兩個向量的座標相乘,例:(1.0)(0.1)數量積就是0,即1*0-0*1=0
他們是垂直的
8樓:淦秀英權嬋
兩個向量的模相乘,再乘以兩個向量的夾角,就是向量的數量積
9樓:廖智渠衣
兩向量的數量積是兩向量之間的一種乘法,與數的乘法、實數與向量的積都是有區別的.首先需明確兩向量的數量積結果是個數量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的餘弦的乘積,其符號由夾角決定
10樓:羽濱竹聽筠
設向量a為(x1,y1),向量b為(x2,y2),向量a與向量b的數量積為x1x2+y1y2也等於向量a的模乘以向量b的模乘以cos(x)
x為兩個向量的夾角
11樓:滑方緒芳菲
數量積就是放縮向量,也就是向量模的正大縮小
12樓:山覺許如雲
當每一份愛情走到盡頭是,如果你回眸一下。你會發現鮮花和悲傷,但是那總是美麗的。
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