1樓:手機使用者
1. 矩陣範數
du的概念 設a∈cm×n,定zhi
義一個實值函式||daoa||,若滿專
足:(1) 非負性:|屬|a||≥0,且||a||=0當且僅當a=0; (2) 齊次性:
||aa||=|a| ||a||,a∈c; (3) 三角不等式:||a+b||≤||a||+||b||,a,b∈ cm×n; (4) 相容性:||ab||≤||a|| ||b||
則稱||a||為a的矩陣範數。 例1 設a=(aij)∈**×n,則都是定理2:由向量的1-範數、2-範數和∞-範數分別誘匯出的矩陣範數分別是
通常依次稱為列和範數、譜範數和行和範數。
定理3:譜範數和f-範數都是酉不變範數,即對於任意酉矩陣p和q,有||paq||=||a||。
特徵值分解和奇異值分解的區別
2樓:徐天來
特徵值分
解和奇異值分解的區別
所有的矩陣都可以進行奇異值分解,而只有方陣才可以進行特徵值分解。當所給的矩陣是對稱的方陣,a(t)=a,二者的結果是相同的。也就是說對稱矩陣的特徵值分解是所有奇異值分解的一個特例。
但是二者還是存在一些小的差異,奇異值分解需要對奇異值從大到小的排序,而且全部是大於等於零。
對於特徵值分解 [v,d] = eig( a ) , 即 a = v*d*inv(v)
對於奇異值分解,其分解的基本形式為 [u,s,v] = svd(c), c = u*s*v'. 若c陣為對稱的方陣, 則有 u = v; 所以有 c = v*s*v';
3樓:平民百姓為人民
有的矩陣都可以進行奇異值分解,而只有方陣才可以進行特徵值分解。當所給的矩陣是對稱的方陣,a(t)=a,二者的結果是相同的。也就是說對稱矩陣的特徵值分解是所有奇異值分解的一個特例。
但是二者還是存在一些小的差異,奇異值分解需要對奇異值從大到小的排序,而且全部是大於等於零。
對於特徵值分解 [v,d] = eig( a ) , 即 a = v*d*inv(v)
對於奇異值分解,其分解的基本形式為 [u,s,v] = svd(c), c = u*s*v'.
若c陣為對稱的方陣, 則有 u = v; 所以有 c = v*s*v';
奇異值分解的方法
4樓:匿名使用者
假設m是一個m×n階矩陣,其中的元素全部屬於域 k,也就是 實數域或複數域。如此則存在一個分解使得
m = uσv*,
其中u是m×m階酉矩陣;σ是半正定m×n階對角矩陣;而v*,即v的共軛轉置,是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作m的奇異值分解。σ對角線上的元素σi,i即為m的奇異值。
常見的做法是為了奇異值由大而小排列。如此σ便能由m唯一確定了。(雖然u和v仍然不能確定。)
奇異值分解在某些方面與對稱矩陣或hermite矩陣基於特徵向量的對角化類似。然而這兩種矩陣分解儘管有其相關性,但還是有明顯的不同。對稱陣特徵向量分解的基礎是譜分析,而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。
5樓:帝皇俠林宇睿
定理:設a為m*n階復矩陣,則存在m階酉陣u和n階酉陣v,使得:
a = u*s*v』
其中s=diag(σi,σ2,......,σr),σi>0 (i=1,...,r),r=rank(a)。
推論:設a為m*n階實矩陣,則存在m階正交陣u和n階正交陣v,使得
a = u*s*v』
其中s=diag(σi,σ2,......,σr),σi>0 (i=1,...,r),r=rank(a)。
說明:1、 奇異值分解非常有用,對於矩陣a(m*n),存在u(m*m),v(n*n),s(m*n),滿足a = u*s*v』。u和v中分別是a的奇異向量,而s是a的奇異值。
aa'的正交單位特徵向量組成u,特徵值組成s's,a'a的正交單位特徵向量組成v,特徵值(與aa'相同)組成ss'。因此,奇異值分解和特徵值問題緊密聯絡。
2、 奇異值分解提供了一些關於a的資訊,例如非零奇異值的數目(s的階數)和a的秩相同,一旦秩r確定,那麼u的前r列構成了a的列向量空間的正交基。
matlab奇異值分解
函式 svd
格式 s = svd (a) %返回矩陣a的奇異值向量
[u,s,v] = svd(a) %返回一個與a同大小的對角矩陣s,兩個酉矩陣u和v,且滿足= u*s*v'。若a為m×n陣,則u為m×m陣,v為n×n陣。奇異值在s的對角線上,非負且按降序排列
[u1,s1,v1]=svd(x,0) %產生a的「經濟型」分解,只計算出矩陣u的前n列和n×n階的s。
說明:1.「經濟型」分解節省儲存空間。
2. u*s*v'=u1*s1*v1'。
2 矩陣近似值
奇異值分解在統計中的主要應用為主成分分析(pca),它是一種資料分析方法,用來找出大量資料中所隱含的「模式」,它可以用在模式識別,資料壓縮等方面。pca演算法的作用是把資料集對映到低維空間中去。
資料集的特徵值(在svd中用奇異值表徵)按照重要性排列,降維的過程就是捨棄不重要的特徵向量的過程,而剩下的特徵向量張成空間為降維後的空間。
3 應用
在很長時間內,奇異值分解都無法並行處理。(雖然 google 早就有了mapreduce 等平行計算的工具,但是由於奇異值分解很難拆成不相關子運算,即使在 google 內部以前也無法利用平行計算的優勢來分解矩陣。)最近,google 中國的張智威博士和幾個中國的工程師及實習生已經實現了奇異值分解的並行演算法,這是 google中國對世界的一個貢獻。
求matlab 奇異值分解函式 svd和svds的區別
6樓:匿名使用者
設a為m*n階矩陣,a'表示a的轉置矩陣,a'*a的n個特徵值的非負平方根叫作a的奇異值。記為σi(a)。
這幾天做實驗涉及到奇異值分解svd(singular value de***position),涉及到這樣的一個問題,
做pca時候400幅影象拉成向量按列擺放,結果擺成了比如說10000*400大小的矩陣,
用到svd函式進行奇異值分解找主分量,結果matlab提示超出記憶體,後來想起還有個函式叫svds,看到別人用過,以為只是一個變體,沒什麼區別,就用上了,結果確實在預料之中。但是今天覺得不放心,跑到變數裡面看了下,發現這個大的矩陣被分解成了
三個10000*6,6*6,400*6大小的矩陣的乘積,而不是普通的svd分解得到的10000*10000,10000*400,400*400大小的矩陣乘積,把我嚇了一跳,都得到預期的結果,難不成這裡還出個簍子?趕緊試驗,
發現任給一個m*n大小的矩陣,都是被分解成了m*6,6*6,n*6大小的矩陣的乘積,為什麼都會出現6呢?確實很納悶。help svds看了一下,發現svds(a) 返回的就是svds返回的就是最大的6個特徵值及其對應的特徵行向量和特徵列向量,
還好,我們實驗中是在svds得到列向量中再取前5個最大的列向量,這個與普通的svd得到的結果是一致的,虛驚一場。。。還得到了一些別的,比如
改變這個預設的設定,
比如用[u,d,v]=svds(a,10)將得到最大的10個特徵值及其對應的最大特徵行向量和特徵列向量,
[u,d,v]=svds(a,10,0)將得到最小的10個特徵值及其對應的特徵行向量和特徵列向量,
[u,d,v]=svds(a,10,2)將得到與2最接近的10個特徵值及其對應的特徵行向量和特徵列向量。
總之,相比svd,svds的可定製性更強。
奇異值分解非常有用,對於矩陣a(m*n),存在u(m*m),v(n*n),s(m*n),滿足a = u*s*v』。
u和v中分別是a的奇異向量,而s是a的奇異值。
aa'的正交單位特徵向量組成u,特徵值組成s's,
a'a的正交單位特徵向量組成v,特徵值(與aa'相同)組成ss'。
關於奇異值分解,為什麼我的結果是這樣?能告訴我原因嗎? 10
7樓:我行我素
奇異值分解有兩種用法,一是:s=svd(a),得出的s是列向量;二是:[u,s,v]=svd(a),得出的s是一個對角矩陣,對角線上的元素就是奇異值。
你的程式就可能是後一種情形。
matlab中svd奇異值分解是什麼作用?
8樓:匿名使用者
奇異值分解 (sigular value de***position,svd) 是另一
種正交矩陣分解法;svd是最可靠的分解法,但是它比qr 分解法要花上近十倍內
的計算時間。容[u,s,v]=svd(a),其中u和v代表二個相互正交矩陣,而s代表一對角矩陣。 和qr分解法相同者, 原矩陣a不必為正方矩陣。
使用svd分解法的用途是解最小平方誤差法和資料壓縮
9樓:半點正經
[u,s,v]=svd(a)奇異
bai值分解du,就是要把矩陣a分解成 u*s*v' (v'代表zhiv轉置).其中u s是正dao交矩陣(複數域
回對應為酉矩陣)答
奇異值分解可以用來求矩陣的逆,資料壓縮等等,不過具體的用法不是幾句話就能說清楚的。總之,奇異值分解特別重要。
10樓:匿名使用者
奇異值分解是線性代數中一種重要的矩陣分解,在訊號處理、統計學等領域有重要應用。
可逆矩陣a的逆矩陣的二範數跟a的最小奇異值有何關係
11樓:匿名使用者
用反證bai法,如果(i+a)的行列式為
du0,那麼設(a+i)x=0,得出ax=-x,a就有特徵zhi值-1,那麼a的譜dao半徑就大於
內等於1,則a的範數大容於1產生矛盾。還要說明的一點是,矩陣的譜半徑小於等於矩陣a的任意相容矩陣範數,所以,題目中說的某種範數,應該是不嚴謹的
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