1樓：遼寧陽陽
多項式的對稱
假設 是未知數， 是 的二次方程， ,它的兩個根 有如下關係：
， 和 都有這樣的性質：把 和 對換，結果仍然不變，因為
， 凡是有這樣性質的 和 的多項式叫做對稱多項式。
例如， , 也是對稱多項式，但是 就不是對稱多項式。並且我們習慣上把 和 叫做初等對稱多項式。
我們來看一般情況，設n∈z+, a0，a1，……an∈c,a0≠0設現在有一元n次多項式方程：
著名的代數基本定理告訴我們，這樣的方程有n個根，假設為 ，那麼：
和二次的情形相仿，韋達定理給出：
像如上左邊各式：
等這樣的多項式，不論我們對 ，作怎樣的排列，都是不會變的。也就是說我們把 ， 是一個n排列,那麼以上的式子是不會變的。這樣的式子我們稱為 的對稱多項式，並且以上的幾個對稱多項式為初等對稱多項式。
定義6：設 是c上的一個n元多項式，如果對這n個文字 的指數集施行任一個置換後， 都不改變，那麼就稱 是c上一個n元對稱多項式。
例如: 是對稱多項式，
而 就不是，
如果把：1→2，2→3，3→1
那麼 初等對稱多項式的重要性在於
定理（對稱多項式基本定理）：
每一個n元對稱多項式都可以唯一地表示成初等對稱多項式的多項式。
現在我們用群的語言去描述n元多項式的對稱性。
令 ,sn是m的變換群，即前面提到的n次對稱群。如果我們略去字母 而只記下標，這時sn中的元素可以記為：
是一個n排列。
令f 記數域f上n元多項式的全體。對 ,利用 可以定義f 到f 的一個對映，
那麼 是集合f 的一個一一變換。為什麼？
令 tn中
那麼（tn，o）滿足 ，稱之為f 的置換群。
如果把n元多項式和平面圖形類比，把f 和平面類比，則f 的置換群相當於平面的運動群，（平面的所有保距變換）。
即所有不變 的那些 ，那麼我們 滿足性質 ,稱之為n 元多項式 的對稱群。
例1： ，那麼 ，即四次對稱群是 的對稱群。
例2：例3：
——klein 4元群
例4： 單位元群
例5：是3階迴圈解。
定義 ： 的一個多項式 稱為對稱多項式，如果 。即對稱群是整個置換群。
就這樣我們用群來刻劃了多項式的對稱。
如何去構造對稱多項式，可見《近世代數》p55。
四、數域的對稱
數域的概念在大學一年級高等代數中就講過了。
一個非空數集f，至少含有一個非零的數，如果f對＋，－，×，÷封閉，那麼f稱為一個數域。
q，r，c都是數域，最小的數域是q，
也是一個數域。
平面圖形是一個幾何結構，即是把一個點集m（圖形由點組成）連同此點集m中任意兩點間的距離作為一個整體來考慮，而其對稱群就是m的保持其任兩點間的距離不變的變換的全體，這些保持m的幾何結構（即距離）的變換的全體，就刻畫了幾何結構的對稱。
完全類似地，數域f是一個代數結構，也就是把一個數集f連同此數集f中加、減、乘、除的運算作為一個整體一起來考慮。
所以數域f的對稱也同樣地可以用f的保持代數結構（即運算）的變換的全體來刻畫。
定義7數域f的自同構 是指：
（1） 是f的一個一一變換
（2）定理1若 是f的自同構，那麼 有以下系列的性質：
（1）（2） ；
（3）（4） .
和我們前面討論平面有限圖形k的對稱一樣兩個對稱變換的乘積仍是k的一個對稱變換，類似地我們有：
性質1設 和 是數域f的兩個自同構，那麼 和 也是f的一個自同構.
性質2令aut（f）表示f的所有自同構的全體，令o表示變換的乘法，則（aut(f),o）滿足g1)—g4)。
定義8 稱（aut(f),o）為數域f的自同構群。
我們可以這樣來類比：數域f的自同構群相當於圖形k的對稱群，後者刻畫了圖形k的對稱，前者則刻畫了數域的「對稱」，——它是圖形對稱在數域上的一個類比概念。
定理2有理數域 的自同構群只有一個元素——恆等自同構i。
由此可知，若任意數域f，f ，且 ，那麼 。即 ， 限制在 上是恆等變換。
例1令 是一個數域，是把 新增到 做成的代數擴域。考察f的自同構群。設 ，
由定理1知， ，
故 ，變換的結果取決於
令 最多隻有2個數值 和 ，故f的自同構群只有
可以驗證i、 確為f上的自同構。
o i φ
i i φ
φ φ i
這是一個2元迴圈群， ，
同構於 ，即 的對稱群。
例2令這也是一個數域。設 ，同上例， 的作用決定於 和 ，知 和 只有4種組合方式。故aut(e)只有4個元素
o i φ1 φ2 φ12
i i φ1 φ2 φ12
φ1 φ1 i φ12 φ2
φ2 φ2 φ12 i φ1
φ12 φ12 φ2 φ1 i
o (1) (12) (34) (12)(34)
(1) (1) (12) (34) (12)(34)
(12) (12) (1) (12)(34) (34)
(34) (34) (12)(34) (1) (12)
(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)
aut(e)與klein 4元群同構 :
，即 的對稱群。
我們把上面說的推廣到一般情況，
定義9給定兩個數域f和e，如果f e，則稱f是e的子域，而稱e為f的擴域。令
即 是使得f中元素不動的e的自同構，aut(e:f)就是由所有這樣的 組成。
f就相當於平面圖形的對稱中的對稱軸或是旋轉中心。
命題（aut(e:f)，o）滿足 ，稱為數域e在f上的對稱群。
例3 和 都不能使到a+b 保持不變。
設 ， 為n次多項式，n個根為 ， 在f上的**域為e， ，那麼稱（aut(e:f)，o）為f上多項式 的根的對稱群，也稱為f上一元多項式 的galois群。這個群在解決五次以上多項式方程不可能有根式解的問題上起了關鍵作用。
五、關於「對稱與群」的教學
（1） 認識運算的廣泛性，不只是數可以運算，其他的一些數學物件也可以運算，並且滿足一些數的運算所具有的性質。
（2） 乘法不一定是可以交換的。
（3） 代數結構的概念：一個集合，加上這個集合中的運算，構成一個代數系統，其結構體現在運算關係上。
（4） 群的概念：對稱群是一個具體的群。滿足g1)—g4)，就稱為群。
（5） 數學語言是刻畫自然現象的一個極好工具，數學是模式的研究。數學**於實際問題。
2樓：匿名使用者
在數學中，群是一種代數結構，由一個集合以及一個二元運算所組成。要具有成為群的資格，這個集合和運算必須滿足一些被稱為「群公理」的條件，也就是結合律、單位元和逆元。儘管這些對於很多數學結構比如數系統都是很熟悉的，例如整數配備上加法運算就形成一個群，但將群公理的公式從具體的群和其運算中抽象出來，就使得人們可以用靈活的方式來處理有著非常不同的數學起源的實體，而同時在抽象代數之上保留很多物件的本質結構體貌。
群在數學內外各個領域中是無處不在的，使得它們成為當代數學的中心組織原理。[1][2]
群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的對稱特徵定為：它由保持物體不變的變換的集合，和通過把兩個這種變換先後進行來組合它們的運算構成。
這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。
群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽羅瓦在 1830 年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何的貢獻之後，群概念在 1870 年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。
為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式(群表示)。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在2023年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。
3樓：樓飇回驪娟
數學概念－－群
設g是一個非空集合，*是它的一個代數運算，如果滿足以下條件：
ⅰ.結合律成立，即對g中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；
ⅱ.g中有元素e，叫做g的左單位元，它對g中每個元素a都有e*a=a；
ⅲ.對g中每個元素a在g中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使a^（-1）*a=e；
群論,商群的概念是什麼？有什麼用？
4樓：寒英懷冰
整數關於加法形成一個加法群，現在，我們考慮它們除24後的餘數，就像時間一樣，今天的一點鐘和昨天的一點鐘單單就1而言是等價的，所以我們不妨把它們看為同一類元素，也就是說，1和25是等價的，因為它們除24後都餘1，這樣，我們就把整個整數變成了只有24個元素的有限群，我們分別以1，2...24作為它們的代表元，這24個元素就形成了一個商群。
現在讓我們把這個概念抽象出來：如果在一個群上定義了一個等價關係，把諸元素分成互不相交的等價類，取其中一個元素作為代表元，則這樣形成的群就是商群。
再回到一般群中，與單位元等價的元素形成的群記為a，則它是一個正規子群，則商群可以寫為aa，ba，ca……故，任意正規子群都能產生商群。
至於商群有什麼用，你看他把等價元素都弄成一個元素就知道它有什麼用了，我們考慮問題時考慮的物件往往是具有某些特殊性質的集合，這些東西可以視為一個東西，商群就可以幫你把它們凝為一體，具體可參考任何一本抽象代數書。
求助，關於群的概念在物理學中的應用
5樓：匿名使用者
連續群理論及其應用的一些主要問題。從群的定義開始,深入討論了李群、李代數、鄧金圖、克羅內克乘積等方面的數學方法,並著重論述了在物理學中的應用。最後討論了三個研究專題:
諧振子,氫原子,費米子和殼層結構
伽羅瓦群論的基本內容是，群論,商群的概念是什麼？有什麼用？
方程求解中的難題 方程論是古典代數的中心課題。早在公元3世紀的希臘數學家丟番圖和9世紀的阿里 e68a8462616964757a686964616f31333335333637花拉子米，均求得一元二次方程ax2 bx c 0的解。到了16世紀，義大利數學家卡丹和他的學生費拉里相繼發表了用根式求解三...
求群論及其在固體物理中的應用習題答案
群論及其在粒子物理學中的應用吧?本書是作者在多年為北京大學研究生開課講義的基礎上,根據粒子物理學的發展和研究成果經整理 充實 提高而寫成的。求群論及其在固體物理中的應用 習題答案答案 1.冬天就 抄是這樣,沒有太多的包襲裝和裝飾,bai一切都真真實實,直du白也自然。zhi 2.過度句,起到承上啟下...
數學屬於和不屬於怎麼打。集合概念中的
o在彈出的對話方塊中選擇公式3.0，回車，在彈出的工具條上有 方法三 安裝數學公式5.0也可以，只是比3.0的功能更多。方法一 在搜狗拼音中直接輸入syu選擇5就得到 輸入bsy選擇5就得到 數學的集合 先屬於，不屬於，包含，真包含都是什麼意思 一 屬於,不屬於是指元素與集合之間的關係。如a屬於a表...