1樓：匿名使用者
求出所圍成的較小的區域內
r和θ的範圍
利用二重積分求面積
結果＝2
過程如下圖：
2樓：匿名使用者
解：題意如下圖
先求r和θ的範圍，再利用二重積分求面積。
求心形線r=a(1+cosθ)(a>0)繞極軸旋轉所圍成的立體的體積~
3樓：116貝貝愛
^^解題過程如下：
v=∫π(rsinθ)^2*rdθ
=π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt]
=32π^2*a^3*7/256
=7π^2*a^3/8
性質：在平面上取定一點o，稱為極點。從o出發引一條射線ox，稱為極軸。再取定一個單位長度，通常規定角度取逆時針方向為正。
平面上任一點p的位置就可以用線段op的長度ρ以及從ox到op的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為p點的極座標，記為p（ρ，θ）；ρ稱為p點的極徑，θ稱為p點的極角。
在平面上，取一點o稱為極點，從o出發的一射線ox稱為『極軸』。平面上任意一點p的位置，就可以用線段op的長度γ和op與ox所夾的角θ來確定。（γ、θ）稱為點p的極座標。
極座標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。
4樓：999級吞天巨鯤
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，關於極軸對稱。
1、極軸左邊：
v=∫（0,2a）πy²dxx
=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ
=a(cosθ+cos²θ)dx
=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθy
=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ
=a(sinθ+sinθcosθ)，
代入：v=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
設t=cosθv=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）=πa³(1+2-1/2-1-1/3)=πa³(2-5/6)=7πa³/6
2、極軸右邊：
r=a（1+cosθ）a＞0
r²=ar+acosθ
=ar+ax
對原式進行兩邊積分
原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0）
= （π/2）（a²/4十（1/6a）（a³-0））
= （π/2）（a²/4十a²/6）
=πa（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）（-a/4,0）
=πa³/6
擴充套件資料
積分性質
1、線性性
積分是線性的。如果一個函式f 可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函式f和g可積，那麼它們的和與差也可積。
2、保號性
如果一個函式f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。
作為推論，如果兩個i上的可積函式f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那麼f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。
如果黎曼可積的非負函式f在i上的積分等於0，那麼除了有限個點以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負函式f在i上的積分等於0，那麼f幾乎處處為0。如果f中元素a的測度μ （a）等於0，那麼任何可積函式在a上的積分等於0。
函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。
如果兩個函式幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對f中任意元素a，可積函式f在a上的積分總等於（大於等於）可積函式g在a上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g。
5樓：不是苦瓜是什麼
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，關於極軸對稱。
y軸右邊，比較簡單：
v=∫（0,2a）πy²dx
x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos²θ)
dx=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ=a(sinθ+sinθcosθ)，代入：
v=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
設t=cosθ
v=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）
=πa³(1+2-1/2-1-1/3)
=πa³(2-5/6)
=7πa³/6
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = - ln|secx - tanx| + c = ln|secx + tanx| + c
常用特殊角的函式值：
1、sin30°=1/2
2、cos30°=(√3)/2
3、sin45°=(√2)/2
4、cos45°=(√2)/2
5、sin60°=(√3)/2
6、cos60°=1/2
7、sin90°=1
8、cos90°=0
9、tan30°=(√3)/3
10、tan45°=1
11、tan90°不存在
積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
6樓：晁誠琴釵
^考慮半個心形線（θ屬於0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）繞極軸轉成一個梯形環面元，面積等於2πr*ds，r是該弧到極軸的距離：
r=rsinθ.
所以立體的側面積就是：
2πrds的積分，把上面的r和ds代入，並利用條件代入r的表示式。
結果得到一個不太複雜的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ把積分變數代換成θ/2，可以比較容易地解出定積分式:
16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)總的表面積是從0到π的積分。當然，如果說心形線凹進去的部分不算側面積，只要求出沿極軸方向離頂點最遠的點的θ=2π/3,
並把它做為積分上限即可。
結果分別是：
(32πa^2)/3
和6sqrt(3)πa^2
7樓：匿名使用者
^「心形
線」的直角座標方程式_ …… 其極座標方程為:r=a(1-cosθ)由r^2=x^2+y^2,cosθ=x/r,代入得:√(x^2+y^2)=a[1-x/√(x^2+y^2)]
心形線用極座標時θ的範圍為什麼是0到兀,還有這個範圍怎麼得來的取0到兀然後乘2_ …… 心形線r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ)θ最起碼取一個週期內的角,【0,2π】 或【-π,π】沒有限制也可以,
心形線 - …… 心形線r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ)都是周期函式,只要在一個週期內,θ在-π到+π之間,或θ在0到2π之間都行,但在高等數學裡心形線往往用於求曲線長度或所圍面積,則用θ在-π到+π之間表示後積分計算方便.
積分題求心形線r=(1+cosx)的長度_ …… x用θ代替啦!由曲線積分公式,心型線的長度設為l,那麼l=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ 其中,r'表示r的導數,積分上限2π,下限為0l=∫^(1/2)dθ=a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ=2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限為π,下限為0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限為π,上限為2π)]=8a
初中物理電學，如圖A中R1為什麼短路，R1短路造成的結果和造成這結果的原因是什麼
r1和s2並聯，s2閉合，r1就被短路了 開關閉合後，相當於導線，電阻為0 r1短路，電路中就只剩下r2了，這些在 題目詳情 中說的很清楚。初中物理，電學，如圖電燈為什麼會短路，什麼是短路 電燈l1會短路，是由於s2開關閉合後，電流直接流過開關，原來可以流過l1電燈的電流經過s2開關走了 捷徑 所以...
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那個回答 恩。已解答 的那位你是不是吃多了,我雖然不會,但我沒你這麼無聊,你自己認為有意思麼,或者換來提問者的漠視還是一句罵?你把分母同化,再倒過來。1 r 1 r1 1 r2 r1 r2 r1 r2 r r1 r2 r1 r2 先把右面的式子通分,得r2 r1 r1 r2,然後用十字相乘法 我相信...
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1 r 1 r1 1 r2 1 r3 通分得出結果,之後,倒數就是了。物理電路問題 並聯電路總電阻r r1r2r3 r1 r2 r3也可以也成1 r 1 r1 1 r2 1 r3 誰教你的三個電阻可以這樣計算r r1r2r3 r1 r2 r3?書本上的是1 r 1 r1 1 r2 r r1r2 r1...