1樓：
樓主的對這部分的想法混淆得太厲害，真是剪不斷，理還亂。。。
我也不是老師也不知道給你從何說起，就一個問題一個問題的來吧。
第一題：
lim(x+sinx)/x（x→∞）
=lim(1+ sinx/x）
=1+lim sinx/x
=1+0=1
lim sinx/x（x→∞）= 0 這個是因為 分子 sinx有界 分母趨近∞。
本題為什麼不能用洛必達
分子分母同時求導後得到 1+cosx （x→∞）
-1≤cosx≤1
0≤1+cosx≤2 這個是不存在了 但是不是無窮 因為它大於0小於2.
也就是說最後的1+cosx 即不收斂於一個數，也不是無窮 所以洛氏法則失效。
樓主的「洛必達法則不是說最後的值可以是一個數也可以是無窮嗎」這句話是對的。
但是加上後面的括號（也就是不存在）就不對了。
無窮和不存在是不等價的。
第二題：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
直接洛氏法則也行不通。
我用了在分子出出現了一個sin（1/x）
那結果就是 [3-sin（1/x）]/2 樓主得到3+無窮/2
應該是以為：sin（1/x）為無窮吧。呵呵，不是的。
-1≤sin(這個裡面不管是什麼)≤1
那麼同樣 [3-sin（1/x）]/2 即不收斂於一個數，也不是無窮。洛氏法則失效。
那麼這個題真麼做呢？
和上面一樣 分成兩個極限求：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)+ lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=3/2 + lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=3/2 + 0
=3/2
lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)=3/2 這個極限你可以直接用 洛氏法則。其實用等價無窮系代換非常簡單。
後面一個極限：
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=lim (xcos1/x)/(1+cosx)-------利用了等價無窮小代換： x代換ln(1+x)
=(0*cos1/x)/2
=0樓主 主要混淆的地方 在於 無窮和不存在的區分。
這一個小問題影響了樓主對高數很多問題的混淆。
2樓：
x為無窮大
而sinx最大為1，不是無窮大
sinx/x x為無窮大時， ＝0
3樓：匿名使用者
1.lim(x+sinx)/x（x->無窮）
=1+lim（x->無窮)sinx*(1/x)
因為（x->無窮)
所以1/x->0,是無窮小量，
而sinx是有界量|sinx|<=1,
所以lim(x+sinx)/x（x->無窮)=1
這道題的確不能用洛必達法則
因為用的話lim(x+sinx)/x（x->無窮)=
lim(1+cosx)（x->無窮)
因為（x->無窮)，cosx是沒有極限的，而不是無窮大
所以lim(1+cosx)（x->無窮)極限不存在
所以不能用洛必達法則
2.lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=1/2*lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/ln(1+x)
=1/2*lim(x->0)[3cosx+2xcos(1/x)+sin(1/x)](1+x)
=1/2*lim(x->0)(3+sin(1/x))
因為sin(1/x)(x->0)極限不存在
所以這道題也不能用洛必達法則
那麼這道題只能這樣做
lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=1/2lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/x(等價無窮小）
=1/2lim(x->0)[3sinx/x+xcos(1/x)]
=3/2
其實洛必達法則很好用，當分子分母均趨向於0或趨向於無窮大時，就能用，當然還要求f'(x)/g'(x)極限存在或者為無窮大。。
像以上兩道特例因為不滿足f'(x)/g'(x)極限存在或者為無窮大這個條件所以不能用
能否用洛必達法則求lim(x→∞)(x-sinx)/x
4樓：晴天擺渡
不能，因為用一次抄洛必達之後，
襲分子變成1-cosx，分母變成1，
lim[x→∞](1-cosx)，極限不存在。
應該這樣做，
原式=lim[x→∞](1 - sinx/x)=1 - lim[x→∞]sinx/x
因為|sinx|≤1，故sinx是有界函式，因為x→∞時，1/x →0，故1/x 是無窮小量，故有界函式與無窮小量的乘積sinx/x 仍是無窮小量，故lim[x→∞]sinx/x=0
故原式=1-0=1
5樓：匿名使用者
不能，因為分子分母的極限都不存在，並不為零，所以不能用
6樓：匿名使用者
不能，對於趨於∞的sinx，
得利用其有界性用夾逼準則
當x趨向於無窮大時sinx/x的極限是？
7樓：匿名使用者
sinx是有界量，而1/x是無窮小量。故相乘極限為0
8樓：海邊搓澡的神
sinx 值在-1~1之間擺動 x趨向於無窮大時 該方程式趨向於0
9樓：匿名使用者
0 sinx<1
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