1樓：承冷菱
法國數學家傅立葉發現，任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數，根據尤拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。
法國數學家j.-b.-j.
傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。
他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的應用。
收斂性傅立葉級數的收斂性：滿足狄利赫裡條件的周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫裡條件如下：
在任何週期內，x(t)須絕對可積；
在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；
在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，那麼x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。
正交性所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。
三角函式族的正交性用公式表示出來就是：
奇偶性奇函式
，可以表示為正弦級數，而偶函式
，則可以表示成餘弦級數：
只要注意到尤拉公式：
，這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中匯出。
廣義傅立葉級數
類似於幾何空間上向量的正交分解，周期函式的傅立葉級數是在內積空間上函式的正交分解。其正交分解從
基推廣到legendre（勒讓特，1775-1837）多項式和haar（哈爾，1885-1993）小波基等，稱為廣義傅立葉級數。
任何正交函式系
，如果定義在[a,b]上的函式f(x）只具有有限個第一類間斷點，那麼如果f(x）滿足封閉性方程：
（4），那麼級數
（5） 必然收斂於f(x），其中：
（6）。
事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：
成立，這稱作貝塞爾(bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因為對於任意的單位正交基
，向量x在
上的投影總為
希望我能幫助你解疑釋惑。
2樓：勤奮的
利用 尤拉公式，將 sin 2w=[exp(2w i)-exp(-2w i) ]/2i 代入 可直接求出。
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