一道高數題目,求高手解答,謝謝,一道高數題目,求高手解答

2021-05-15 21:42:14 字數 1695 閱讀 9030

1樓:匿名使用者

設數列﹛an﹜通項公式為an=(n!)²/(2n)!

an+1 /an = ((n+1)!)²/(n!)² * (2n)!/(2n+2)! = (n+1)²/(2n+1)(2n+2)=(n+1)/2(2n+1) <1

所以an是遞減數列。

∵an = (n!)²/(2n)! =n!/((n+1)(n+2)…(2n)) = 1/(n+1) * 2/(n+2) * … * n/(n+n)

<1/(n+1)

∴0636f707962616964757a686964616f31333330343235理可知,lim an =0 (n→∞)

所以數列﹛an﹜是單調遞減趨於0的正項數列。

因此級數σ(-1)^n * (n!)²/(2n)! 是萊布尼茨型級數,顯然收斂。

同時,還能證明級數σ(n!)²/(2n)! 收斂。

∵an = (n!)²/(2n)! =n!/((n+1)(n+2)…(2n)) = 1/(n+1) * 2/(n+2) * … * n/(n+n)

<1/(n+1) * 2/(n+2) =2(1/(n+1) - 1/(n+2))

且級數σ2(1/(n+1) - 1/(n+2))=2lim (1/2-1/3+1/3-1/4+ …+1/(n+1) - 1/(n+2)) (n→∞)

=2* 1/2 =1

∴級數σ(n!)²/(2n)! 收斂,即級數 σ(-1)^n * (n!)²/(2n)! 絕對收斂。

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2樓:匿名使用者

可以看成一的無窮大來做,我打不出這樣的數學符號,你自己琢磨一下。

3樓:冰

既然遊子涯朋友對我的措辭頗有微言,那麼我就修改一下

此題除泰勒外,還可以化為e的冪指數形式來做,具體如下

[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=e^[(1/x)ln(a^x+b^x+c^x)-ln3] ①

之後對指數求極限

lim[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x ②

x→0明顯0/0型,使用洛比達法則分子分母分別求導

②式=lim(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)

將x=0代入,即得到指數的極限為(1/3)ln(abc),代入①式即得到(abc)^(1/3),即³√(abc)

4樓:遊子涯

^最後的答案是³√(abc):三次根號abc。如果懂泰勒展開的話,我有下面的作法:

當x→0時,有下面的泰勒式:

a^x=e^(x lna)=1+x lna +(xlna)²/2!+(xlna)³/3!......

b^x=e^(x lnb)=1+x lnb +(xlnb)²/2!+(xlnb)³/3!......

c^x=e^(x ln c)=1+x lnc +(xlnc)²/2!+(xlnc)³/3!......

可得(a^x+b^x+c^x)/3=1+x ln(³√abc) +(x ln(³√abc))²/2!+(x ln(³√abc))³/3!......=(³√abc)^x

所以極限為((³√abc)^x)^(1/x)=³√(abc),要注意一點上面等式成立的條件是x→0。

另外《吉米多維奇》第一冊555題,就是這個題,不過它的那個作法很麻煩。

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