抽象代數定理設H,k是群G的兩個子群,則HKGHkKH

2021-03-03 20:27:46 字數 1396 閱讀 5209

1樓:鍾學秀

人家結來論要證明

不是說要證明源hk <= g <==> hk=kh嘛。那所以就是hk 是g的子群當且僅當hk=kh咯。你沒有充分讀透題目要幹嘛(一般不能保證是子群,但這裡題目中要證的就是為子群的充要條件)

由推論1可以知道hk 是g的子群當且僅當hkhk=hk且(hk)^(-1)=hk。

而h^(-1)=h, k^(-1)=k, (hk)^(-1)=k^(-1)h^(-1)=kh這個總是成立的,即不管是不是子群都成立。於是如果hk 是g的子群,顯然就必須有hk=kh(這個方向證明我們只需要結論中其一);

反過來如果hk=kh,我們知道(hk)^(-1)=hk,同時可以驗證hkhk=hhkk=hk(這個性質必須驗證成立才能得到子群的結論)所以hk為子群。

進而結論成立。

h,k是群g的兩個子群,且兩個子群互不包含,求證kuh一定不是g的子群

2樓:夏de夭

因為h、k互不包來含,所以自必然存在h屬於h但h不屬於k,k屬於k但k不屬於h,則k、h均屬於k並h

若k並h是子群,則kh屬於k並h,則kh屬於k或h,若kh屬於k,則k^(-1)(kh)=h屬於h,這與h不屬於k矛盾,同理有kh不屬於h,從而kh不屬於k並h,矛盾

所以k並h不是g的子群

教科書抽象代數定理:群g, h<=g, n是g的正規子群,則hn/n相似於h/(h∩n).

3樓:鬼王囈語

商群中hn/n的元素是hnn,又n屬於n,從而由商群的運算hnn=h(nn)=hn.所以令ψ : x ------> xn 。

我們還需說明該對應是對映即其良定性,這個對映是自然同態對映限制在其子群h上的對映,故ψ 良定。

另外命題中是讀「同構於」而不是「相似於」

4樓:

hn/n中元素為hnn=hn ,h∈h

抽象代數:設h是群g的非空有限子集,證明:h是g的子群的充分必要條件是h關於g的運算封閉 10

5樓:匿名使用者

h<=g 即 h是g 的子群, 「設h是群g的一個非空子集」只能說明 h是g的非空子集.

證明: 必要版性是顯然的

下證充分性, 即由h對權g的乘法封閉推出h<=g.

(1)由h非空, 存在 h∈h.

由h中每個元素的階都有限, 可設 h^k=e (g中單位元).

由h對g的乘法封閉, h^k=e ∈h. 即h有單位元.

(2)對h中任一元h.

由h中每個元素的階都有限, 可設 h^k=e, 則 h^(-1) = h^(k-1)∈h.

即h中每個元都有逆元.

綜上知h是g的子群, 即 h<=g#

H,K是群G的兩個子群,且兩個子群互不包含,求證KUH一定不是G的子群

因為h k互不包來含,所以自必然存在h屬於h但h不屬於k,k屬於k但k不屬於h,則k h均屬於k並h 若k並h是子群,則kh屬於k並h,則kh屬於k或h,若kh屬於k,則k 1 kh h屬於h,這與h不屬於k矛盾,同理有kh不屬於h,從而kh不屬於k並h,矛盾 所以k並h不是g的子群 抽象代數定理 ...

設G是群,H,K是G的子群且H在G中的指數有限,求證 K H在K中的指數也有限

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