設函式f x 在上連續,在(0,1)上可導,且f 1 f 0 0,f

2021-08-11 02:48:49 字數 3259 閱讀 5032

1樓:碧白楓費歡

根據有關法則,f'應當連續,而且有一點是0;假如f'在定義域不等於1,那麼一定小於1,則∫0~1/2

f'<1/2,這與f(1/2)=1矛盾,故題設成立

2樓:茹翊神諭者

可以考慮羅爾定理

答案如圖所示

3樓:長沛凝戚儒

一、1、令f(x)=f(x)-x

則f(1/2)=1/2,

f(1)=-1

有零點定理知,f(x)在(1/2

,1)上有零點,故存在η屬於(1/2,1),使f(η)=η2、原式=f(x)'-1-λ(f(x)-x)=0令f(x)=(

f(x)-x

)/e^λx

易知f(0)=0,f(η)=0

所以存在ξ屬於(0,η),使得f『(x)=0又因為f』(x)=(

f(x)'-1-λ(f(x)-x)

)/e^λx

所以存在ξ屬於(0,η),使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1。

二、用反證法

若對於任意的x屬於(0,1),都有f『(x)小於等於1易知f(x)小於等於1,當f『(x)恆等於1時等號成立,又因為f(x)是x的非線性函式,所以f『(x)不恆等於1所以f(1)小於1,與已知矛盾

所以在(0,1)內至少存在一點ξ,使f'(ξ)>1

設f(x)在【0,1】上連續,在(0,1)內可導,且f(1)=0.證明:存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

4樓:匿名使用者

證明:令g(x)=xf(x),g'(x)=f(x)+xf'(x)∵制f(x)在bai[0,1]連續,在(du0,1)可導∴g(x)在[0,1]連續,在(0,1)可導∵g(0)=0,g(1)=f(1)=0

∴根據羅爾中值定理知道,zhi

存在ξ∈(dao0,1)使得g'(ξ)=0∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0

∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ

命題得證

5樓:霧光之森

令baig(x)=xf(x),0<=x<=1.

那麼g(0)=g(1)=0,g'(x)=xf'(x)+f(x).

則根據羅爾定理,存du在ξ

zhi∈(0,1),使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0,即daof'(ξ)=-f(ξ)/ξ.

[附上思路

內:根據結論考慮容f'(x)+xf(x),看它能否變成某個新函式的導數,容易觀察得出xf(x)就是所需要的.]

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,證明:

6樓:匿名使用者

令g(x)=f(x)-x,則g(0)=0,g(1/2)=-1/2,g(1)=0,根據介值定理,存在a∈(0,1/2),使得g(a)=-1/4,存在b∈(1/2,1),使得g(b)=-1/4。再根據羅爾中值定理,存在ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0,也就是f'(ξ)=1。

7樓:

注意(η²+η)'=2η+1,與(2)結果形式一致。

(1)根據連續性。

f(η)=η²+η,可以看成兩個函式y=f(x),與y=g(x)=x²+x的交點。定義函式h(x)=f(x)-g(x),h在[0,1]連續,可導。

h(0)=f(0)-g(0)=0,h(1/2)=f(1/2)-g(1/2)=1-(1/4+1/2)=1/4,h(1)=f(1)-g(1)=0-2=-2

根據連續性,在{1/2,1)內,函式h必然過0點,設其0點的x座標為η

h(η)=f(η)-g(η)=0,f(η)=g(η)=η²+η

(2)用中值定理

在[0,η],h(0)=0,h(η)=0,必然有ξ∈(0,η),使得h'(ξ)=0

h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-(2x+1)

h'(ξ)=f'(ξ)-(2ξ+1)=0,

f'(ξ)=2ξ+1

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。

8樓:你愛我媽呀

證明過程如下:

設g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。

所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:

存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.

所以f'(ε)=-f(ε)/ε。

9樓:匿名使用者

證明:設g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0

所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得:

存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0

所以f'(ε)=-f(ε)/ε

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)f(1)<0.求證:存在ξ∈(0,1),使得ξf′

10樓:手機使用者

令g(x)=x2e-xf(x)du,zhi則g(x)在[0,1]上連續dao,在(回0,1)內可導,且答

g′(x)=xe-x[xf′(x)+(2-x)f(x)].因為f(0)f(1)<0,

由連續函式的零點存在定理可得,?c∈(0,1)使得f(c)=0,從而g(c)=0.

又因為g(0)=0,

故對函式g(x)在區間[0,c]上利用羅爾中值定理可得,存在ξ∈(0,1),使得g′(ξ)=0,

即:ξe-ξ[ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)]=0.又因為ξe-ξ≠0,

故ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)=0.

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,證明:至少存在一點,使得f'

11樓:字染碧亥

構造輔助函式

f(x)=f(x)e^(2x),它在[0,1]上連續,在(0,1)內可導

且f(1)=f(0)=0

那麼,根據羅爾中值定理,存在一點§,使得f'(§)=0即f'(§)+2f(§)=0

希望對樓主有幫助~~

設函式fx在上連續,在a,b可導,且fa

設f x e kx f x 由f a f b 0,f a f a b 2 0可知f a f b 0 f a f a b 2 0 從而可得f a f b 同號 f a b 2 與f a 異號 f b 同號 不妨設f a 0 f b 0 f a b 2 0由零點定理可得 在 a,a b 2 和 a b ...

設函式fx在上連續,在a,b內可導,且f

設g x f x e x 則g x 在 a,b 上滿足羅爾定理條件.g x f x f x e x 所以 a,b 內至少存在一點c,使得g c 0,即有f c f c 0。設函式f x 在 a,b 上連續,在 a,b 內可導,且f a f b 0.建構函式f x f x e g x 則f x 在 a...

設函式f x 在 0,1 上連續,且滿足f x x 20,1 f t dt,求f x 更簡潔的表示式

令a 0,1 f t dt,它為常數故f x x 2a 再代入上述積分 a 0,1 t 2a dt t 2 2 2at 0,1 1 2 2a 解得 a 1 2 所以f x x 1 高數 設函式 f x 在 0,1 上連續,且對任意的 x 0,1 有 f x 0,則必有?設f x 在 0,1 上連續,...