文科數學三角函式

2022-02-20 11:54:22 字數 6701 閱讀 7363

1樓:允兒蟕牯

函式名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割

在平面直角座標系xoy中,從點o引出一條射線op,設旋轉角為θ,設op=r,p點的座標為(x,y)有

正弦函式 sinθ=y/r

餘弦函式 cosθ=x/r

正切函式 tanθ=y/x

餘切函式 cotθ=x/y

正割函式 secθ=r/x

餘割函式 cscθ=r/y

(斜邊為r,對邊為y,鄰邊為x。)

以及兩個不常用,已趨於被淘汰的函式:

正矢函式 versinθ =1-cosθ

餘矢函式 coversθ =1-sinθ

編輯本段同角三角函式間的基本關係式:

·平方關係:

sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關係:

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒數關係:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形abc中,

角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊,

餘弦等於角a的鄰邊比斜邊

正切等於對邊比鄰邊,

·三角函式恆等變形公式

·兩角和與差的三角函式:

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函式:

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·輔助角公式:

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)

cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)

tant=b/a

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t),tant=a/b

·倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式:

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半形公式:

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·萬能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·積化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化積公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推導公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

·其他:

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0

cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

證明:左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (積化和差)

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

等式得證

sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

證明:左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊

等式得證

編輯本段三角函式的角度換算

公式一:

設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二:

設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈z)

編輯本段正餘弦定理

正弦定理是指在一個三角形中,各邊和它所對的角的正弦的比相等,即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r .

餘弦定理是指三角形中任何一邊的平方等於其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc cosa

編輯本段部分高等內容

·高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒有無窮級數,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。

·三角函式作為微分方程的解:

對於微分方程組 y=-y'';y=y'''',有通解q,可證明

q=asinx+bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。

補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。

編輯本段特殊三角函式值

a 0` 30` 45` 60` 90`

sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tana 0 √3/3 1 √3 none

cota none √3 1 √3/3 0

編輯本段三角函式的計算

冪級數c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它們的各項都是正整數冪的冪函式, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數.

泰勒式(冪級數法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

實用冪級數:

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞

arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞

cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞

arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

在解初等三角函式時,只需記住公式便可輕鬆作答,在競賽中,往往會用到與影象結合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面積等等。

傅立葉級數(三角級數)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

三角函式的數值符號

正弦 第一,二象限為正, 第三,四象限為負

餘弦 第一,四象限為正 第二,三象限為負

正切 第一,三象限為正 第二,四象限為負

編輯本段三角函式定義域和值域

sin(x),cos(x)的定義域為r,值域為〔-1,1〕

tan(x)的定義域為x不等於π/2+kπ,值域為r

cot(x)的定義域為x不等於kπ,值域為r

希望對你能有所幫助。

三角函式sin,cos,tan,三角函式sin,cos,tan各等於什麼邊比什麼邊

不知道你學習了弧度制沒有。如果沒有的話,你還是用科學計算器算,科學計算器一定有計算三角函式的功能的,你買一部就知道了。如果你學了弧度制 在計算器出現之前,人們一般用高等數學的泰勒式 sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11 cos x 1 x 2 2 x 4 4...

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