1樓：風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料：
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
2樓：匿名使用者
^證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
3樓：雄鷹
分析：①有理數的概念：
「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。
②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為「開方開不盡的數」。
③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。
解：假設(√3)是有理數，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數
∴在假設「(√3)是有理數」的前提下，(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)
兩邊平方，得：
m² / n² = 3
∴m² 是質數3的倍數
我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。
∴由「m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得：正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把「m = 3k」 代入「m² / n² = 3」 ，得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
對比「m² / n² = 3「 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。
意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論，
∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)」是不成立的。
∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
4樓：遲沛山告琳
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
5樓：樸卉吾嘉懿
^反證：假設根號3是有理數，則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍數，這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
怎麼證明根號三是無理數
6樓：史初然乜魄
^以下是我搜來的。。
方法一：假設
根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數方法：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
7樓：匿名使用者
證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q也是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
8樓：節天千娟妍
反證法：
假設結論不成立（接下來用a表示根號3，因為不好打），即a為有理數，那麼存在正整數p和q（p,q無公因子，或稱互質）,使得a=p/q(有理數的性質)，兩邊平方，得到
p^2=3*q^2,
接下來分析，（具體過程可以有多種，但是都是從公因子3入手，引出矛盾）因為等號右邊有因子3，且3為質數，因此p一定是3的倍數，設p=3r,代入等式並約分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍數，於是p、q均為3的倍數，與p、q互質矛盾。
故有反證法的原理，知a為無理數
關於證明「根號3為無理數」的一些問題
9樓：匿名使用者
反證法：若根號
2加根號3是分數（即整數與整數的比）或說是有理數吧則平方以版後也應是有理權數即5+2根號6也是有理數即根號6是有理數顯然根號6只能是分數，不妨設此分數約至最簡時為b/a 則a,b互質，否則還可約 6=b^2/a^2 即b^2=6a^2 所以b^2為6的倍數（即為2，3的倍數）所以b為2，3的倍數（即為6的倍數）所以b^2為36的倍數，即6a^2為36的倍數推得a^2被6整除，矛盾於a,b互質因此根號6是無理數，即根號2加根號3是無理數
怎樣證明根號2是無理數
10樓：飄渺的綠夢
^利用bai反證法，假設√2是有
du理數，則√2＝a/b，其中zhia、b是沒有公約數的整數。
dao由√2＝a/b，得：a^版2＝2b^2，∴a是偶數，令權a＝2c，其中c是整數，得：
（2c）^2＝2b^2，∴b^2＝2c^2，∴b也是偶數。
這樣，就與a、b沒有公約數相矛盾，由此而說明：√2不可能是有理數，即√2是無理數。
11樓：匿名使用者
怎樣來證明根
號2是無理數
證明根號自2是無理數
假設√2是有理數,必有√2=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數,設p=2k（k為正整數）
有：4k^=2q^,q^=2k^
顯然q也為偶數,與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√2是無理數
12樓：匿名使用者
20190821 數學04
怎樣證明根號3是無理數
13樓：**座小茶葉
用反證bai法。假設√3是有理數，du則任何一個zhi有理數都可以表示為既約
dao分數m/n（即內：m、n為整數，且互質容）因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3*n^2，因此m^2含有3的因數，因此m含有3的因數
假設m=**，則：（**）^2=3*n^2，得n^2=**^2,因此n^2含有3的因數，因此n含有3的因數
所以，m、n均含有3的因素，與m、n互為質數矛盾，因此√3是無理數這是一個通用的證法，可以證明√2、√5、√6等等是無理數。
14樓：匿名使用者
^^：假設√3是
。1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整數，
設√3=p/q ，p和q
把 √3=p/q 兩邊平內方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍數數，p 必定
容3的倍數，設p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍數數，
這與前面假設p，q
矛盾。因此√3是
。這是別人的答案
15樓：都夏煙梅海
^呵，試試來看假設√3是有理數，不妨令：源√3＝baip/q 其中（p,q）=1
則有，p^du2=3q^2
因為zhi(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1故可dao得：3|p^2
得：3|p^2
故可設p=3k
由√3＝p/q得√3＝3k/q (k,q)=1得：q=3k^2
由上，同樣可證：3|q^2
因此，3是p^2與q^2的公約數
這與(p,q)=1矛盾。
綜上所述，√3為無理數。
注：(p,q)=1是p,q互質的意思。
證明根號3不是有理數請證明根號三是無理數
假設根號3是有理數，設 3 a b a,b互質 所以3 b b a a 所以3為a的約數，設a 3 m 則3 b b 9 m m 所以3為a的約數 即3為a b的公約數 與a,b互質矛盾 所以，根號3不是有理數 有理數這個詞最初源自古希臘，是由古希臘著名的數學家 哲學家畢達哥拉斯最早提出的，後來傳到...
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如何證明3次根號2是無理數如何證明三次根號2根號3是無理數
假設2的立方根為有理數，那麼這個有理數可以寫成a b,a,b為整數,且無公約數 a b 3 2 a 3 2b 3 若a為奇數,則a 3為奇數，而2b 3必定為偶數，不可能相等，所以a為偶數，而b就只能為奇數 令a 2k 得 2k 3 2b 3 整理得4k 3 b 3 所以b 3是偶數，即b是偶數 與...