1樓：
假設pi=a/b，我們定義（對某個n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
f(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)
這裡f^(2j)是f的2j次導數.
於是f和f有如下性質（都很容易驗證）:
（1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。
（2)f(x) = f(pi - x)
（3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增，並且x趨於0時f(x)趨於0，
x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n!
（4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。
（5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數（由1)可知）。
（6)f(0)和f(pi)是整數（由4)，5)可知）。
（7)f + f'' = f
（8)(f'·sin - f·cos)' = f·sin （由7)可知）。
這樣，對f·sin從0到pi進行定積分，就是
(f'(pi)sin(pi)-f(pi)cos(pi)) - (f'(0)sin(0)-f(0)cos(0))
=f(pi)+f(0)
由（6)可知這是個整數。
問題在於如果把n取得很大，由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾，證畢。
2樓：
利用反證法，假設π是有理數，設π=a/b,a,b為互質正整數，定義f(x)=x^n*(a–bx)^n/n!
=\sum_^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!.
f(0)=0;當02n時顯然有f(r)(0)=0, 當
3樓：o5議會某人員
分子和分母不是無理數這個分數就一定是有理數。然而周長／直徑等於兀，但周長和直徑都是有理數
4樓：欒聰丘夜梅
假設∏是有理數，則∏=a/b，(a,b為自然數)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上兩式相乘得: 0 當n充分大時，,在[0，∏]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(∏)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，(此處上限為∏，下限為0) =f(∏)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]區間上的積分為整數，這與(1)式矛盾。所以∏不是有理數，又它是實數，故∏是無理數。 5樓：電燈劍客 3樓貼的證法已經是很簡潔的經典證法了。 首先需要肯定的是，π的定義依賴於極限，所以基本上不可能在初等數學範疇裡完成。 還有一種比較常規的方法就是利用連分數，其思想很簡單，因為有理數的連分數表示是有限的，只要找到π的連分數表示就行了。這種做法還可以適用於很多無理數的證明，當然你首先需要掌握如何把taylor級數轉化成連分數形式。學習這種方法還不如把3樓提供的方法看懂。 如何證明π是無理數？ 6樓：demon陌 把tan(m/n)寫成一個繁分 數的形式，如果m/n是有理數，這個繁分數的項數就是無窮的，但是根據繁分數的性質，項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數。 由於這個命題是真(繁分數的性質)，這句話的逆反命題，也就是對於項數有限的繁分數，m/n是無理數也是真。tan(pi/4)=1，1是有限項的繁分數，所以pi/4是無理數。 把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。如果以39位精度的圓周率值，來計算可觀測宇宙的大小，誤差還不到一個原子的體積。 7樓：萊特資訊科技**** 這個問題最早是由德國數學家lambert在17世紀證明出來的.他的證明是把tan(m/n)寫成一個繁分數的形式,如果m/n是有理數,這個繁分數的項數就是無窮的,但是根據繁分數的性質,項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數.由於這個命題是真(繁分數的性質),這句話的逆反命題,也就是對於項數有限的繁分數,m/n是無理數也是真. tan(pi/4)=1,1是有限項的繁分數,所以pi/4是無理數. 現在還有好多別的證明方法.比方說可以用證明自然對數底e是無理數的反正法來證.大體來說就是建立一個大於0的數的數列,然後如果假設pi是有理數,這個數列會同時是一個大於0(不是大於等於),並且向0無限接近的數列,然後得出pi只能是無理數 怎麼證明π^π是無理數？ 8樓： e和π的大多數和、積、冪等等，例如π^π，π+e，π-e，πe，e^e，e^π尚未知是有理數還是無理數或者是超越數。參考http://mathworld. 9樓：匿名使用者 π本身就是一個無理數。無理數的任何次方(除0以外)，仍然是一個無理數，所以π的π次方是無理數 10樓：匿名使用者 無理數的定義是既無限，又不迴圈的小數。π本身就是無理數，（無論用什麼數字都無法表示它的「精確值」）所以π的π次方還是無理數。 有理數可以寫成兩個互質整數的比值 即最簡分數 設 10 p q,p,q互質 有10 p q p 10q 10是偶數,一個數乘以偶數還是偶數,p 是偶數,即p是偶數 設p 2k,k是正整數,那麼有10q 2k 4k 5q 2k 2k 是偶數,5q 是偶數,即q是偶數 那麼pq都是偶數,有公因數2,這和... 證明 假設 3 2是一個有理數p,那麼 3 2 p.兩邊平方得到 5 2 6 p 2.即 6 p 2 5 2 由於p是有理數,所以 6是有理數.但這是不可能的,再次使用反證法,假設 6是有理數p q,其中p,q互質且p,q都是正整數 那麼 p q 6.平方得到 p 2 6q 2.由於6是2的倍數,所... 有理數 有理數的定義是 只要能以分數形式表現出來的數，就是有理數 當然必須限定是分母 分子都是整數，且分母不得為0 所以整數 有限小數 迴圈小數 及分數都是有理數。簡單的說，就是 可以用分數表示的數。無理數 無理數的定義剛好和有理數相反。無理數就是無法以單純分數形式表示的數，例如無法開出的根號數 根...如何證明10為無理數如何證明是無理數？
證明3 2是無理數，證明 3 2 是一個無理數
什麼叫做無理數，什麼是無理數