1樓：一生一個乖雨飛
a的屬於特徵值λ的線性無關的特徵向量的個數是 齊次線性方程組 (a-λe)x=0 的基礎解系所含向量的個數 ,即 n-r(a-λe),r(a) 的取值,只能決定0是否特徵值。
擴充套件資料：
矩陣的秩變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
(3)r(ka)=r(a),k不等於0
(4)r(a)=0 <=> a=0
(5)r(a+b)<=r(a)+r(b)
(6)r(ab)<=min(r(a),r(b))
(7)r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以,r(ab)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
(8)p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)
2樓：手機使用者
n個線性無關特徵向量是相似於對角陣的充分必要條件，與秩沒有必然關係，圖中即是例子。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
矩陣的秩與特徵向量的個數有什麼關係？
3樓：是你找到了我
矩陣的秩與特徵向量的個數的關係：特徵值的個數等於矩陣的秩，特徵向量的個數至少等於矩陣的秩，（即大於等於矩陣的秩），小於等於矩陣的階數，等於階數時,矩陣可相似化為對角矩陣，小於矩陣的階數時，矩陣可以相似化為對應的約旦標準形。
4樓：晚晴
特徵向量的個數與矩陣的秩並沒有直接的聯絡
有多少個特徵值
就有多少個特徵向量
但是不一定所有特徵向量都線性無關
所以秩主要是與線性無關向量有關
所以此處秩大
可追問啊
5樓：匿名使用者
特徵向量的個數大於秩
關於線性代數的問題: 若一個矩陣a有n個線性無關的特徵向量，跟矩陣的秩有什麼關係呀?
6樓：匿名使用者
n個線性無關特徵向量是相似於對角陣的充分必要條件，與秩沒有必然關係，圖中即是例子。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
7樓：匿名使用者
矩陣的秩=n-n=0
矩陣的秩和矩陣的特徵值個數的關係，並證明
8樓：dear豆小姐
關係：1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵
值。2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
證明：定理1：n階方陣a可相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
定理2：設a為n階實對稱矩陣，則a必能相似對角化。
定理3：設a為n階實對稱矩陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理4：設a為n階方陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理5：
設a為n階方陣，矩陣的秩r（a）=k，（0定理6：設a為n階方陣，矩陣的秩rf（a）=k，（0例1：
設矩陣a=1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩陣a的特徵值，矩陣a的秩。
解：得到a→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，則矩陣a的秩r（a）=1。
通過上例，我們發現λ=0為a的三重特徵值，而a的秩r（a）=4-3=1。下面的定理給出了相應的結論。
證：由定理2，實對稱矩陣必能相似對角化，因此a必有n個線性無關的特徵向量，即每一個特徵值對應一個線性無關的特徵向量，重根對應線性無關的特徵向量的個數等於其重數[1]，故由秩r（a）=k，（0以上例題和相關定理均給出了矩陣的秩得到矩陣的特徵值的情況，反過來，若n階方陣a恰有k（0所以，方陣a不滿秩等價於a有零特徵值，a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
擴充套件資料
矩陣的秩的變化規律及證明
1、轉置後秩不變
2、r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
3、r(ka)=r(a),k不等於0
4、r(a)=0 <=> a=0
5、r(a+b)<=r(a)+r(b)
6、r(ab)<=min(r(a),r(b))
7、r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以，r(ab)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
8、p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)
9樓：東風冷雪
矩陣有特徵值必須是方陣
矩陣的秩是最高階非0子式。
n階矩陣必定有n個特徵值，(特徵值可能是虛數)對於n階實對稱矩陣，不同特徵值的高數和矩陣的秩相等
10樓：perment之歌
最後一句應該改為：對於實對稱矩陣或可相似對角化的矩陣，其秩就是非零特徵值的個數
矩陣的秩與特徵值有什麼關係
11樓：景田不是百歲山
1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。
2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
線性變換秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管特徵值是不是一樣）。這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）。
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
12樓：匿名使用者
這是因為，矩陣a的相似對角矩陣的主對角元都是矩陣a的特徵值，又因為矩陣a的秩與它的相似對角陣的秩相等，因此，如果矩陣a的秩為n，那麼它就有n個非零特徵值。
13樓：匿名使用者
為討論方便，設a為m階方陣
證明：設方陣a的秩為n
因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩陣，稱為矩陣的標準形（注：這不是二次型的對稱矩陣提到的標準形）
本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標準形為
主對角線前若干個是1；其餘的是若干個0
以及除對角線以外的元素都是0。設a的標準形為b
因為「m×m階矩陣構成的數域p上的線性空間」與
「該線性空間上的全體線性變換在數域p上的線性空間」同構。
所以研究得到線性空間的性質可以照搬到線性變換空間上應用，
從同構的意義上說，他們是「無差別」的。
（由於線性變換符號的字型不能單獨以花體字型區別，所以
用形如「線性變換a」，表示線性變換
用形如「矩陣a」，表示線性變換的矩陣）
前面知識應該提到的內容：
一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的
所以矩陣b的秩（1的個數），就是矩陣a的秩，就是n
因為可逆且不改變秩，所以討論矩陣b的情況，可以應用到矩陣a上。
我們隨即看到，
如果線性變換b（或者說矩陣b）的秩是n，則線性變換b就是
對線性空間的前n個基做恆等對映（因為基向量組沒有秩序，我們取前n個不會有原則性的問題）
後m-n個基做零變換，所構成的線性變換，線性變換b的特徵多項式是(λ-1)^n
就可以快速找到n個線性無關的特徵向量，這些特徵向量直接取線性空間的前n個基就可以了。
我們得到的結論是，線性變換b秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。
因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，
所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管你的特徵值是不是一樣）
這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
下面我們解釋重根為什麼按重數計算，對矩陣b做初等行變換，
第i行乘以數域p上的數k≠1（當然，如果k=1純屬脫褲子放屁），
我們的特徵多項式變為(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等變換相應類推。
借用學物理的思維，一個變換莫測的關係中，尋找守恆量是什麼？這個是有意義的。
而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特徵值會隨之改變，
但是守恆量是一定能找到n個線性無關的特徵向量，其個數就是矩陣b（線性變換b）的秩是不變的。
這樣我們就發現了守恆量，至於屬於不同特徵向量的特徵值是否相等，純屬巧合，無意義。
有多少個碰巧相等的都無所謂，有多少個相等（相當於特徵多項式的幾次方），就當然重複計算。
最後來一個問題的封閉，題目說的是方陣a
這個簡單，將矩陣b做一系列初等行變換，雖然特徵多項式改變了，線性變換改變了，
特徵多項式也變了，但是我們發現的守恆量n，是不變的。
14樓：吸血神龍
最佳答案錯了吧，一個特徵值可以對應多個線性無關的特徵向量啊
線性代數矩陣的秩問題，線性代數中關於矩陣秩的問題，R A，B 與R AB 的區別，請舉例說明！
換個思路 因為aib1不為0，所以a的秩大於0.又矩陣的第二行及第三行都是第一行的倍數，故可通過行初等變換將第二行及第三行都化為0，所以a的秩 1，由此可知r a 1 初等變換不改變矩陣的秩。你把每行的a提出來，每列的b提出來後看看就知道了。你可以像你說的在記憶體和硬碟上顯示卡上做個記號，比較簡單的...
「矩陣A有n個線性無關的特徵向量」是不是就等於說「矩陣A有n
矩陣a有n個線性無關的特徵向量 不是就等於說 矩陣a有n個不同的特徵值 版。矩陣a有n個線性無關權的特徵向量時，不一定有n個不同的特徵值。有n個復根 1,2,n，為a的n個特徵根。當特徵根 i i 1,2,n 求出後，ie a x 是齊次方程，i均會使 ie a 0，ie a x 必存在非零解，且有...
關於矩陣的秩關於矩陣的秩
建議上標用 下標用 然後為了簡便,這裡就用a 表示a的轉置.1.這是一個結論 若b是m n實矩陣,則r b r b b 進而也有r b r b r bb 證明 考慮線性方程組bx 0 與b bx 0 證明二者同解.不妨在實數域上討論 秩是與數域無關的.如果在複數域上討論只需稍加修改 若x滿足 自然有...