1樓：立港娜娜
高斯公式法：
取σ：x² + y² = 1,前側、補σ1：z = 3,上側、補σ2：z = 0,下側、補σ3：x = 0,後側：
∫∫(σ+σ1+σ2+σ3) ydzdx = ∫∫∫ω (0 + 1 + 0) dxdydz。
= ∫∫ω dxdydz。
= (1/2) * π * 1² * 3。
= 3π/2。
∫∫σ1 ydzdx = ∫∫σ2 ydzdx = ∫∫σ3 ydzdx = 0。
所以∫∫σ ydzdx = 3π/2。
普通法.
σ：x² + y² = 1,前側、取σ1：y = - √(1 - x²),左側、取σ2：y = √(1 - x²),右側：
∫∫σ ydzdx。
= ∫∫σ1 ydzdx + ∫∫σ2 ydzdx。
= - ∫∫d [- √(1 - x²)] dzdx + ∫∫d [√(1 - x²)] dzdx。
= 2∫∫d √(1 - x²) dzdx。
= 2∫(0,3) dz ∫(0→1) √(1 - x²) dx。
= 2 * (3 - 0) * (1/4)(π)(1⁵)。
= 3π/2。
曲面積分的幾何意義：
1. 多元函式微積分（微積分基本定理：牛頓-萊布尼茲-格林-高斯-斯托克；一般性的連續理論、微分理論；黎曼積分）。
2. 點集拓撲（或引入拓撲概念的度量空間）。
3. 線性代數（向量空間作為抽象代數結構；張量的基礎概念；群）。
首先， 是一個實線性空間，維數是3。這裡值得注意的是， 可以表示任意一個抽象的三維實線性空間 ，選定一組基 後，就存在一個線性空間的同構。我們把 稱作座標、是一個座標空間。
兩點間的距離可以用勾股定理定義：
有這個度量誘導的拓撲稱為歐幾里得拓撲。以下不加說明，預設 上自帶歐幾里得拓撲。類似地我們定義帶歐幾里得拓撲的 和 。下面考慮 中的（光滑）曲線、曲面。
def 若滿足以下條件，稱為 的一個（連通）光滑子流形。
開覆蓋的粘合是光滑的，即可以證明對於這樣的光滑子流形， 是一個不變數，稱為維數。這裡維數可能的取值是 。當維數為1時，稱其為光滑曲線；維數為2時，稱其為光滑曲面；維數為3時，稱其為一個區域。
有時候我們要考慮帶「邊界」的子流形，比如帶端點的曲線、帶邊界的曲面和帶表面的區域。此時只需要使得上面定義中的某些區域性同胚是到半空間的：
我們用來表示光滑子流形的邊界 ，其中是其內部。
正如（光滑）曲線在每一點都有切線，（光滑）曲面在每一點都有切面，我們將這個概念推廣到一般的光滑流形上，形成切空間和切叢的概念。
簡單來說，流形一點的切空間就是黏在這點的同維度線性空間，而把所有切空間連同它們所在流形上的點粘起來，就是流形的切叢。切空間裡的元素就是向量，如果把每一點的向量粘起來，就得到一個向量場（切叢的截面；我們預設向量場是光滑的）。
根據線性空間對偶的定義，流形每一點還有對應的餘切空間，粘起來是流形的餘切叢。
我這裡不想仔細引入切叢、餘切叢的具體定義了，在維基和各種微分幾何教材裡都找得到，大部分可以分成兩種思路：
先引進切向量，作為經過該點曲線的某種等價類，然後是切空間、切叢、向量場，最後由對偶定義餘切空間、餘切叢。
或者就是定義一點的1-微分形式為該點函式芽的等價類，然後引入1-微分形式、餘切空間、餘切叢，最後由對偶定義切空間、切叢。對於中光滑流形的切叢、餘切叢，直觀的理解已經足夠。
正定、並且可以推出假如線性空間 是有限維的、是一組基，那麼我們可以獲得一個對稱矩陣來表示內積（這樣的矩陣稱作規度矩陣）：
特別地、上選取標準基 ，標準內積的矩陣表示就是3*3的單位矩陣。
在裝備了（標準）內積的上，我們可以定義向量的夾角和正交關係。此外、上還可以定義向量外積代數。
滿足雙線性、反對稱可以推出：所以向量外積的座標。
這分別給出了二元向量組到單個向量的線性對映以及三元向量組到標量的線性對映（注意這兩個不是單射）。
現在，我們要把這些結構搬到光滑流形 上。對於流形一點切空間中的向量，我們也希望定義一種「內積「。滿足上面的條件、稱作點的規度。
隨著點 在流形上變化、也要光滑地變化，那麼我們事實上定義了一個（2，0）-張量叢的光滑截面使得 。稱這樣的為上的一個黎曼規度。
區域性座標系：
在每一點切空間中選取一組基，使得它們作為（0，3）-張量場是光滑截面，那麼這個張量場對應了一套區域性座標系。
對應有一套對偶區域性座標系 ，使得 是 的基，而且 。那麼一個向量場可以表示為 ，一個1-形式可以表示為 。（這裡用到了愛因斯坦求和約定，上下指標同時出現表示對所有可能指標求和。
黎曼規度可以表示為 ，這裡 。那麼就是流形上一點處的規度矩陣。
和線性空間中的情況類似，在定義了內積後，我們就能建立起線性空間和其對偶空間的一一對應。在裝備黎曼規度後，流形上的向量場就和1-形式對應起來：
如果本身看作光滑流形，那麼每一點的切空間中，向量 的內積應該和中的內積吻合（或者說作為流形處處平坦）。這個黎曼規度記為 。
那麼給定標準區域性座標系，的矩陣表示就是 。值得注意的是，的光滑子流形 上可以定義完全不同的黎曼規度；換句話說， 在光滑形的意義下、是的子流形。
但是在幾何的意義下，不是的黎曼子流形。的黎曼子流形需要滿足以下條件。
存在等距浸入對映 ，即是一個光滑連續單射，且 （對任意向量場 ，有 ），其中是切叢間的對映，使下圖交換：
和內積類似，我們也希望通過定義某種張量場把中的向量外積推廣到的光滑子流形 上。可以是一維、二維或三維的，但是向量外積是僅能定義在三維實數空間中的代數結構。
一個更加本質的問題是，從立體幾何的經驗來看，兩個向量的外積是一個垂直於其平面的向量；換言之，外積告訴了我們「垂直於平面」的方向，而這個方向必然是不包含在切平面中的。
為了解決這個問題，我們要引入法空間和法叢的概念。直觀上，曲線一點的法空間就是垂直於切線、且過改點的那個平面。
曲線一點的法空間就是垂直於切平面、過該點的那條直線。
如果我們能給浸入 後的流形每一點處重新貼上一個三維的實線性空間，同時在這個空間中浸入它本身 維的切空間，那麼利用內積空間的概念，這點的法空間就是切空間的正交補空間。
法叢就是每一點都粘著法空間而構成的流形，我們以後記為 。法叢有不依賴規度的、更加一般的定義、或者寫成、但是這個時候的法叢已經失去了「垂直」的含義。不過，我們可以得到推論。
回到我們推廣向量外積的想法上，我們記 法叢截面構成的線性空間為 。我們希望定義： ，使得這是一個反對稱的雙線性變換。
一個立即的推論就是，如此定義的 對於一維流形來說總是平凡的（因為每點兩個向量總是線性相關的）。只有對於維數大於1的流形 來說， 的結構才值得考慮。現在我們來具體定義
將 上的三個（切）向量場送到一個標量場：下面這些長鏈是理解 中曲面、曲線積分的關鍵：上面的 是外導數，將k-微分形式送到（k+1）-形式，是域上代數的同態。
當 時， 的含義是取該光滑函式芽的等價類。一個的微分形式如果外導數為0，那麼說它是閉的；一個（k+1）-微分形式如果是某個k-微分形式的外導數，那麼說它是恰當的。
對於任何一個微分形式，連續兩階外導數都是0；換言之，恰當的微分形式都是閉的。
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