為什麼二重積分的被積函式為常數時,代表的是積分割槽域的面積

2021-06-18 06:43:45 字數 5537 閱讀 8850

1樓:良田圍

你質疑得很對,分析得也很有道理。

整體來說:

“二重積分的被積函式為常數時,代表的是積分割槽域的面積”

這句話是不對的!是不懂科學的數學老師才會信口而出的,

真正的科學教師,絕不會說出這麼糊里糊塗、無厘頭的話。

下面,我概括說一下:

1、因為是常數,既然是常數,就可以提取到積分符號外面;

2、一旦提取到積分符號外,那積分符號下的dxdy就是一個微元面積,

整個區域的積分就是總面積。

3、由於積分符號外有一個常數,當初積分符號下的常數,可能是沒有單位的

單純的數學常數,這個常數乘以dxdy,其意義就是面積的倍數;

4、如果這個常數是物理學、化學、天文學、地質學、、、等等的科學常數,

那積出後的面積再乘以常數,就不再是面積,而可能是有各種不同的含義:

例如1:體積。此時的常數就是物體的高度。這一點,樓主已經做出合理判斷。

例如2:質量。此時的常數就是質量面密度;

例如3:電量。此時的常數就是電荷面密度;

例如4:能量。此時的常數就是能量面密度;

例如5:通量。此時的常數就是通量密度,如電場強度、磁感應強度、引力強度等等。

類似的例子舉不勝舉,如果你的老師說是面積,那隻能說明他沒有科學底子,不懂科學。

沒有必要跟他們斤斤計較,這樣的糊里糊塗的數學教師汗牛充棟,你我回天無力。

至於 z = f(x, y) = constant 常數,那更好理解:

1、假如x、y不是真正的座標,而是抽象的變數,那 z = constant 可能是:

等溫過程、等壓過程、等容過程、、、、

2、假如x、y是真正的座標,也容易理解,這個 z = constant。

在數學上,這就是一個identity,就是一個恆等式。

例如 sin²x + cos²x = 1,這個恆等式跟x的取值無關;

又如 arcsin(x+y) + arccos(x+y) = ½π,這個恆等式跟x、y的取值無關可能是指:

在物理上,這就是一個conservation,是一個守恆定律。

例如:我們不考慮勢能時,我們有動能定理。

同樣我們不考慮動能時,我們也可以全用勢能表示,當然是在保守系中才行。

如有不明白,還有追問。

2樓:匿名使用者

首先糾正下說法,二重積分的被積函式為常數(1)時,僅僅是積分數值與積分割槽域面積值一樣,但對應的實際量綱單位是有區別的。具體說明如下:

1、被積函式既然是常數,資料自然不受積分割槽域影響,可將數值放到積分號外面;

2、數值提到積分符號外之後,對於dxdy這樣一個面積微元,積分運算下,結果就是整個區域的總面積;

3、積分號外的常數,可能是單純的數學常數無單位量綱,這個常數乘以dxdy,其數值就是面積的倍數,這裡僅僅是數值的一致;

4、若被積常數對應為具體的物理學、化學、天文學、地質學等的相關場景,結果就不是面積常數那麼簡單了。

不解之處請多追問

3樓:

不對吧,被積為1時才是面積吧。

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面積的定義是什麼?考慮過這個問題嗎?

4樓:偷猴子的桃

因為x是變數,y也是變數,在座標系裡面就是是個區域面積

二重積分被積函式是1為什麼代表求積分割槽域面積

5樓:匿名使用者

你要從二重積分積分的意義和本質上理解較為簡單。

給你個對二重積分本質的比較形象的理解,就是要充分理解這張圖。

向左轉|向右轉

z=f(x,y)就是積分函式,他是個由x,y共同決定的算式。

積分的過程就是:

把xoy這個平面,無限的分成一堆小區域(你可以理解為一堆小圓圈或者小方格),把每個小區域的面積,乘以這個小區域對應的f(x,y)。最後把這些值都加起來。

如果f(x,y)是個常數k呢,那麼結果就是:每個小區域的面積都乘以這個不變的常數,然後把他們加起來。這樣我們就可以把這個常數k提出來。

積分結果為:常數k*所有小面積的加和。

因為所有小面積的加和就是整個積分割槽域的面積,所以,積分結果就為:

整個積分割槽域面積的k倍。(你之前的描述是不準確的)

其實就是一個以整個積分割槽域為橫截面,高度為k的一個柱體的體積。(注意,從意義上說,二重積分積出來的都是體積,不是面積,只不過柱體的體積就等於面積的k倍)

這樣應該可以讓你從本質上,直觀的理解二重積分,也就知道了你問的那個問題了。

6樓:匿名使用者

二重積分的幾何意義一般

表示幾何圖形的體積 如果被積函式為1 那麼它所表示的為 以區域d為地面積 以高為1的幾何圖形的體積。體積在數值上等於區域d的表面積。所以當二重積分被積函式是1代表求積分割槽域面積

舉例 地面積為4 高為1的長方體 體積為4 在數值上等於底面積

7樓:路長順毋橋

積分割槽域不是積分面積。積分割槽域是指,x和y的範圍。但是二重積分求的是z。

由x和y共同決定的z。

二重積分積出來是體積。一重積分積出來才是面積。三重四重的看具體題目吧。至少在二維和三維座標表示不出來。

這樣說吧,比如一個柱形體,內部密度具有和幾何位置相關的密度函式(即每一點密度不是均等的,而是隨函式變化的)。那麼就要用到三重積分求重量了。明白啵?

計算二重積分時,如果被積函式是一個常數,那這個二重積分是不是就直接等於積分割槽域的面積?

8樓:

dσ始終是正的, dσ來自定義裡面的△σi 這是純粹意義上的面積,所以,始終是正的

9樓:柏文利

直接等於這個常數乘以積分割槽域面積

為什麼二重積分的被積函式為常數時,代表的是積分割槽域的面積

10樓:扯淡的哲人

你要從二重積分積分的意義和本質

上理解較為簡單。

給你個對二重積分本質的比較形象的理解,就是要充分理解這張圖。

z=f(x,y)就是積分函式,他是個由x,y共同決定的算式。

積分的過程就是:

把xoy這個平面,無限的分成一堆小區域(你可以理解為一堆小圓圈或者小方格),把每個小區域的面積,乘以這個小區域對應的f(x,y)。最後把這些值都加起來。

如果f(x,y)是個常數k呢,那麼結果就是:每個小區域的面積都乘以這個不變的常數,然後把他們加起來。這樣我們就可以把這個常數k提出來。

積分結果為:常數k*所有小面積的加和。

因為所有小面積的加和就是整個積分割槽域的面積,所以,積分結果就為:

整個積分割槽域面積的k倍。(你之前的描述是不準確的)

其實就是一個以整個積分割槽域為橫截面,高度為k的一個柱體的體積。(注意,從意義上說,二重積分積出來的都是體積,不是面積,只不過柱體的體積就等於面積的k倍)

這樣應該可以讓你從本質上,直觀的理解二重積分,也就知道了你問的那個問題了。

還有什麼想問的都可以追問,如果幫到您,敬請採納,謝謝~

11樓:華華華華華爾茲

二重積分的被積函式為常數時,代表的是積分割槽域的面積,這句話是不對的。

1、因為是常數,既然是常數,就可以提取到積分符號外面;

2、一旦提取到積分符號外,那積分符號下的dxdy就是一個微元面積,整個區域的積分就是總面積。

3、由於積分符號外有一個常數,當初積分符號下的常數,可能是沒有單位的  單純的數學常數,這個常數乘以dxdy,其意義就是面積的倍數。

4、假如x、y不是真正的座標,而是抽象的變數,那 z = constant 可能是:等溫過程、等壓過程、等容過程。

5、假如x、y是真正的座標,也容易理解,這個 z = constant。  在數學上,這就是一個identity,就是一個恆等式。  例如 sin²x + cos²x = 1,這個恆等式跟x的取值無關;  又如 arcsin(x+y) + arccos(x+y) = ½π,

這個恆等式跟x、y的取值無關可能是指:在物理上,這就是一個conservation,是一個守恆定律。

例如:不考慮勢能時,有動能定理。同樣不考慮動能時,也可以全用勢能表示,當然是在保守系中才行。

擴充套件資料:

幾何意義:在空間直角座標系中,二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f(x,y)的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知,可以用二重積分的幾何意義的來計算。

例如二重積分

其中表示的是以上半球面為頂,半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體,這個二重積分即為半球體的體積

數值意義:二重積分和定積分一樣不是函式,而是一個數值。因此若一個連續函式f(x,y)內含有二重積分,對它進行二次積分,這個二重積分的具體數值便可以求解出來。如函式:

其積分割槽域d是由

所圍成的區域。

其中二重積分是一個常數,不妨設它為a。對等式兩端對d這個積分割槽域作二重定積分。

故這個函式的具體表示式為:f(x,y)=xy+1/8,等式的右邊就是二重積分數值為a,而等式最左邊根據性質5,可化為常數a乘上積分割槽域的面積1/3,將含有二重積分的等式可化為未知數a來求解。

二重積分被積函式和積分割槽域有什麼關係?

12樓:文子

系,就像一元積分中被積函式與積內分割槽間也容沒有直接關係一樣。

二重積分是二元函式在空間上的積分,同定積分類似,是某種特定形式的和的極限,本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心等。

平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,當被積函式大於零時,二重積分是柱體的體積,當被積函式小於零時,二重積分是柱體體積負值。

13樓:放下也發呆

函式的積分結果

跟被積函式和被積區域 這兩個都有關係

二重積分什麼時候可以直接表示區域面積?是被積函式是1的時候?

14樓:是你找到了我

二重積分被積函式等於1時,可以直接表示區域面積;是被積函式是1的時回候。因為二重積答分的面積微元dxdy就表示積分割槽域微元的面積,所以被積函式為1時,直接積分就得到總的面積。

二重積分的本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,稱為曲面積分。

當被積函式大於零時,二重積分是柱體的體積;當被積函式小於零時,二重積分是柱體體積負值。

15樓:匿名使用者

是的,二重積分被積函式等於1時,可以直接表示區域面積。

雖然還有其它情況二重積分值也可能會等於區域面積,但這不過是一種計算結果,而不能【直接】表示。

16樓:花開勿敗的雨季

因為二重來積分的面積微自元dxdy就表示積分割槽bai域微元的面積,那du麼直接積分就得到總的面zhi積dao,所以被積函式即為1.

類似地,一重定積分的微元為座標長度dx,為了求面積,還需要知道矩形微元的高,即f(x),所以定積分求面積的被積函式是f(x)。

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