1樓：楊子電影
如下：
狄利克雷函式是周期函式證明：取t為任意一個確定的有理數，則當x是有理數時f(x)=1，且x+t是有理數，故f(x+t)=1，即f(x)=f(x+t)；當x是無理數時，f(x)=0，且x+t是無理數，故有f(x+t)=0，即f(x)=f(x+t)。綜上，狄利克雷函式是周期函式。
狄利克雷函式基本性質：
1、定義域為整個實數域r。
2、值域為。
3、函式為偶函式。
4、無法畫出函式影象，但是它的函式影象客觀存在。
5、以任意正有理數為其週期，無最小正週期（由實數的連續統理論可知其無最小正週期）。
2樓：一笑而過
因為兩個無理數的和有可能是有理數（例如無理數-π和π的和是有理數0），任意有理數都能作為狄利克雷函式的週期是因為兩個有理數的和是有理數，而有理數和無理數的和一定是無理數，這樣才能保證d(x+r)=d(x)（r為有理數）不論x是有理數還是無理數都成立。而對於任意無理數p，當恰當選取無理數x使得x+p為有理數時，d(x)=0而d(x+p)=1，二者不相等，所以任意無理數是不能成為狄利克雷函式的週期的。
狄利克雷函式週期可以是無理數嗎
3樓：匿名使用者
不可以
週期t必須滿足對任意的x有f(x+t)=f(x)，有理數+有理數是有理數，無理數+有理數是無理數，因此有理數肯定是週期，但無理數+無理數可能不是無理數，所以會存在一些無理點經過t週期變成有理數。
假設q=,則p=r\q=.如果t為任意一個有理數。
則有q+t=q,p+t=p,故根據狄利克雷函式的定義t為的它的週期。
另一方面,如果t為無理數,則q+t=p,故此時t不是狄利克雷函式的週期。
狄裡克雷函式是周期函式，但是卻沒有最小正週期，它的週期是任意非零有理數（週期不能為0）。
狄利克雷函式(英語:dirichlet function)是一個定義在實數範圍上、值域為不連續的函式。狄利克雷函式的影象y軸以y軸為對稱軸，是一個偶函式;它處處不連續;處處極限不存在;不可積分。
這是一個處處不連續的可測函式。
無理數做週期的訊號，為什麼序列不具備週期性？
4樓：威威
n=……1,2,3……間隔為1，在無理數的點上沒有定義，我是這麼理解的。
5樓：電燈劍客
你的敘述是有問題的，比如f(x)=sinx，以2pi為週期，週期顯然是無理數。
我估計你想問的是這個問題，
對於給定常數a，滿足a/pi是無理數，那麼離散序列(定義在整數集上的函式) f(n)=sin(a*n+c)沒有週期性。
這個是一個數論問題，牽涉到很多背景，比較快捷的證明方法是直接利用dirichlet逼近定理。
狄利克雷函式為什麼是周期函式？
6樓：芒樂欣旗雋
狄利克雷函式是周期函式，但是卻沒有最小正週期，它的週期是任意非零有理數（週期不能為0），而非無理數。因為不存在最小正有理數，所以狄利克雷函式不存在最小正週期
7樓：之湘稱曉博
以任意有理數為週期（有理數相加得有理數，無理數加有理數還是無理數）
8樓：石中空
周期函式的定義是：若存在t>0使得f(x+t)=f(x), 則f(x)為周期函式，不要求有最小週期。
按照定義驗證對任意有理數t>0, 如果x是有理數則x+t也是有理數，所以f(x+t)=1=f(x).
如果x是無理數，則x+t也是有理數，所以f(x+t)=0=f(x).
所以狄利可雷函式以任意正有理數為週期，但沒有最小週期。
為什麼「並非每個周期函式都有最小正週期
9樓：生活類答題小能手
周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期，譬如狄利克雷函式。狄利克雷函式是周期函式，但是卻沒有最小正週期，它的週期是任意負有理數和正有理數。因為不存在最小負有理數和正有理數，所以狄利克雷函式不存在最小正週期。
設f（x）是定義在數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質：f（x+t）=f（x），則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
擴充套件資料
周期函式的性質共分以下幾個型別：
1、若t（≠0）是f（x）的週期，則-t也是f（x）的週期。
2、若t（≠0）是f（x）的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。
3、若t1與t2都是f（x）的週期，則t1±t2也是f（x）的週期。
4、若f（x）有最小正週期t*，那麼f（x）的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
5、若t1、t2是f（x）的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。
6、周期函式f（x）的定義域m必定是至少一方無界的集合。
10樓：匿名使用者
函式是周期函式，它不一定存在最小正週期。
如狄立克萊函式d(x)=1(當x為有理數時），d(x)=0(當x為無理數時）。任意一個正數都是它的週期，故沒有最小正週期。
11樓：毛帥項巍然
不是的，有些周期函式是沒最小正週期的。
例如常數函式f（x）=2之類的，所有正實數都是其週期，但是沒有最小的正實數，所以這類函式沒有最小正週期。
怎麼判斷一個函式是不是周期函式
12樓：大二二大
一個函式是不是周期函式的判定定理
周期函式定理，一共分一下幾個型別。
定理1若f（x）是在集m上以t*為最小正週期的周期函式，則k f（x）+c（k≠0）和1/ f（x）分別是集m和集上的以t*為最小正週期的周期函式。
定理2若f（x）是集m上以t*為最小正週期的周期函式，則f（ax+n）是集上的以t*/ a為最小正週期的周期函式，（其中a、b為常數）。
定理3設f（u）是定義在集m上的函式，u=g（x）是集m1上的周期函式，且當x∈m1時，g（x）∈m，則複合函式f（g（x））是m1上的周期函式。
定理4設f1（x）、f2（x）都是集合m上的周期函式，t1、t2分別是它們的週期，若t1/t2∈q則它們的和差與積也是m上的周期函式，t1與t2的公倍 數為它們的週期。
定理5設f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，則f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈q。
擴充套件資料：
定義設f（x）是定義在數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質：f（x+t）=f（x），則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
由定義可得：周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期，譬如狄利克雷函式。
性質周期函式的性質共分以下幾個型別：
（1）若t（≠0）是f（x）的週期，則-t也是f（x）的週期。
（2）若t（≠0）是f（x）的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。
（3）若t1與t2都是f（x）的週期，則t1±t2也是f（x）的週期。
（4）若f（x）有最小正週期t*，那麼f（x）的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
（5）若t1、t2是f（x）的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。
（6）周期函式f（x）的定義域m必定是至少一方無界的集合
判定方法
周期函式的判定方法分為以下幾步：
（1）判斷f（x）的定義域是否有界；
例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函式。
（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f（x+t）= f（x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f（x+t）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f（x）是周期函式，若這樣的t不存在則f（x）為非周期函式。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函式。
（3）一般用反證法證明。（若f（x）是周期函式，推出矛盾，從而得出f（x）是非周期函式）。
例：證f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f（x）=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使之成立 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0，at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f（x）是非周期函式。
例：證f（x）= ax+b是非周期函式。
證：假設f（x）是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有（x+t）= f（x），當x=0時，f（x）=0，但x+t≠0，∴f（x+t）=1，∴f（x+t） ≠f（x）與f（x+t）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函式。
13樓：匿名使用者
設f(x）是定義在
數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質：f（x+t）=f（x），
則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
由定義可得：周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期。
方法：⑴若f(x）的定義域有界，[2]
例：f(x)=cosx（≤10）不是周期函式。
⑵根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f(x+t)= f(x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f(x+t)- f(x)=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f(x）是周期函式，若這樣的t不存在則f(x）為非周期函式。
例：f(x)=cosx 是非周期函式。
⑶一般用反證法證明。（若f(x）是周期函式，推出矛盾，從而得出f(x）是非周期函式）。
例：證f(x)=ax+b(a≠0）是非周期函式。
證：假設f(x)=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使true ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0 at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f(x）是非周期函式。
例：證f(x)= 是非周期函式。
證：假設f(x）是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有（x+t)= f(x），當x=0時，f(x)=0，但x+t≠0，∴f(x+t)=1，∴f(x+t) ≠f(x）與f(x+t)= f(x）矛盾，∴f(x）是非周期函式。
例：證f(x)=sinx2是非周期函式
證：若f(x)= sinx2是周期函式，則存在t（>0），使之true ，有sin(x+t)2=sinx2，取x=0有sint2=sin0=0，∴t2=kπ（k∈z），又取x= t有sin(t+t)2=sin（t）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
t2=lπ（l∈z+），∴
與3+2 是無理數矛盾，∴f(x)=sinx2是非周期函式。
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