求不定積分1x3dx要步驟

2021-05-17 21:47:01 字數 5554 閱讀 2694

1樓:留秀雲建鳥

^||1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

用待定係數法:a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)

得a=1/3,b=-1/3,c=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx

=1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx

其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因為d(x^2-x+1)=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2

∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx

其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c

∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

因為∫(dx/(x^2+a^2))=(1/a)arctan(x/a)

所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

=(2/根號3)arctan((x-1/2)/(根號3/2))+c

在乘上係數,整理∫[1/(1+x^3)]dx=1/3ln|x+1|-1/6|x^2-x+1|+(1/根號3)arctan((2x-1)/根號3)+c

2樓:童雲德慶戌

^∫(1-x)/(1+x^3)dx

這個就需要用因式分解

1+x^3=(1+x)(x^2-x+1)

將(1-x)化成這兩個因式的加和

(1-x)=(2/3)(x^2-x+1)-(1/3)(2x-1)(x+1)

∫(1-x)/(1+x^3)dx

=∫[(2/3)(x^2-x+1)-(1/3)(2x-1)(x+1)]/(1+x^3)

dx=(2/3)∫1/(x+1)dx

-(1/3)

∫[(2x^2-2x+2)+(3x-3)]/(x^2-x+1)

dx=(2/3)

ln(x+1)-(2/3)x+(1/2)∫1/(x^2-x+1)d(x^2-x+1)+

(√3/3)arctan[(2x-1)/√3]

=(2/3)

lnix+1i-(2/3)x+(1/2)lnix^2-x+1i+(√3/3)arctan[(2x-1)/√3]+c

解答完畢,請指教,真麻煩啊呀

求不定積分∫[1/(1+x^3)]dx 要步驟

3樓:匿名使用者

|1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

用待定係數法:a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)

得a=1/3,b=-1/3,c=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx =1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx

其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因為d(x^2-x+1)=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2

∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx

其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c

∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

因為∫(dx/(x^2+a^2))=(1/a)arctan(x/a)

所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

=(2/根號3)arctan((x-1/2)/(根號3/2))+c

在乘上係數,整理∫[1/(1+x^3)]dx=1/3ln|x+1|-1/6|x^2-x+1|+(1/根號3)arctan((2x-1)/根號3)+c

如圖,求不定積分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx,請問圖中結果怎麼算來的,求詳細解題步驟。

4樓:匿名使用者

首先考慮換元法

令x=tant

則dx=(sect)^2 dt

所以原式=∫(sect)^(-3) * (sect)^2 dt'

=∫(sect)^(-1) dt

=∫cost dt

=sint + c

=tant / √(1+(tant)^2) + c=x/√(1+x^2) + c

擴充套件資料:性質:積分公式

注:以下的c都是指任意積分常數。

5樓:體育wo最愛

^∫[1/(1+x²)^(3/2)]dx

令x=tanθ

,則1+x²=1+tan²θ=sec²θ,dx=d(tanθ)=sec²θdθ

原式=∫[(1/sec³θ)·sec²θ]dθ=∫(1/secθ)dθ

=∫cosθdθ

=sinθ+c

因為tanθ=x,所以:sinθ=x/√(1+x²)所以原式=x/√(1+x²)+c

6樓:皮傑圈

嘴不饒人心必善,心不饒人嘴必甜;心善之人敢直言,嘴甜之人藏謎奸;寧交一幫抬

求1/(1+x^3)的不定積分

7樓:吾乃上古曲奇

詳細的解題過程如下:

拓展內容:

在微積分中,一個函式f 的不定積分,或原函式,或反導數,是一個導數等於f 的函式 f ,即f ′ = f。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中f是f的不定積分。

這樣,許多函式的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。

設f(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+ c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx或者∫f(高等微積分中常省去dx),即∫f(x)dx=f(x)+c。

其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。

8樓:匿名使用者

1/(1+x^3)的不定積分求法如下:

1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

用待定係數法:a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)

得a=1/3,b=-1/3,c=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx =1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx

其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因為d(x^2-x+1)=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2

∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx

其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c

∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

因為∫(dx/(x^2+a^2))=(1/a)arctan(x/a)

所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

=(2/根號3)arctan((x-1/2)/(根號3/2))+c

在乘上係數,整理∫[1/(1+x^3)]dx=1/3ln|x+1|-1/6|x^2-x+1|+(1/根號3)arctan((2x-1)/根號3)+c

拓展內容:

1、不定積分的基本概念:

在微積分中,一個函式f 的不定積分,或原函式,或反導數,是一個導數等於f 的函式 f ,即f ′ = f。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中f是f的不定積分。

這樣,許多函式的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。

設f(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+ c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx或者∫f(高等微積分中常省去dx),即∫f(x)dx=f(x)+c。其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。

由定義可知:

求函式f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函式,由原函式的性質可知,只要求出函式f(x)的一個原函式,再加上任意的常數c,就得到函式f(x)的不定積分。

2、不定積分的主要性質:

1、函式的和的不定積分等於各個函式的不定積分的和;

2、求不定積分時,被積函式中不為零的常數因子可以提到積分號外面來;

1/(x^3+x+1)的不定積分怎麼算啊,急需 200

9樓:不是苦瓜是什麼

1/(1+x^3)的不定積分求法如下:

1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

用待定係數法e68a8462616964757a686964616f31333431353262:a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)

得a=1/3,b=-1/3,c=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx =1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx

其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因為d(x^2-x+1)=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2

∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx

其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c

∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

因為∫(dx/(x^2+a^2))=(1/a)arctan(x/a)

所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根號3/2)^2))

=(2/根號3)arctan((x-1/2)/(根號3/2))+c

不定積分的公式

1、∫ a dx = ax + c,a和c都是常數

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c,其中a為常數且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + c

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c,其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + c

6、∫ cosx dx = sinx + c

7、∫ sinx dx = - cosx + c

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = - ln|secx - tanx| + c = ln|secx + tanx| + c

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