1樓:匿名使用者
變形然後第二類換元積分。
滿意請採納!!!
不定積分∫[dx/(2x^2+1)(x^2+1)^(1/2)] 的詳細解法,謝謝
2樓:芒堅鎮絲
^^∫dx=∫2x^2/[x^2(x^2+1)]dx+∫1/[x^2(x^2+1)]dx
(前一項分子
分母約去x^2,後一項利用1/[x^2(x^2+1)]=1/x^2-1/(x^2+1))
=2∫1/(x^2+1)dx+∫1/x^2dx-∫1/(x^2+1)dx
=∫1/(x^2+1)dx+∫1/x^2dx=arctanx
-1/x+c
c是任意常數。
求不定積分∫(2x-1)/(x^2+2x+2) dx
3樓:匿名使用者
本題用到反比例函式及反正切函式的導數公式,詳細步驟如下圖:
4樓:匿名使用者
x2+2x+2=(x+1)2+1,
令x=tanu-1,dx=sec2udu
=∫2tanu-3du
=2lnsecu-3u+c
=ln(x2+2x+2)-3arctan(x+1)+c
求不定積分∫(1/x^2+2x+5)dx
5樓:等待楓葉
解:∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/((x+1)^2+4)dx
令x+1=2tant,則x=2tant-1那麼,∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/((x+1)^2+4)dx
=∫1/((2tant)^2+4)d(2tant-1)=1/4∫1/(sect)^2d(2tant)=1/2∫dt=t/2+c
又因為x+1=2tant,所以t=arctan((x+1)/2)則∫1/(x^2+2x+5)dx=t/2+c=1/2*arctan((x+1)/2)+c
6樓:寂寞的楓葉
^∫(1/(x^2+2x+5))dx的不定積分為1/2arctan((x+1)/2)+c
解:∫(1/(x^2+2x+5))dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=1/4∫1/[((x+1)/2)^2+1]dx
令(x+1)/2=t,則x=2t-1
則1/4∫1/[((x+1)/2)^2+1]dx
=1/4∫1/(t^2+1)d(2t+1)
=1/2∫1/(t^2+1)dt
=1/2arctant+c
把t=(x+1)/2代入,得
∫(1/(x^2+2x+5))dx=1/2arctan((x+1)/2)+c
擴充套件資料:
1、不定積分的公式型別
(1)含a+bx的不定積分
∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+c、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+c
(2)含x^2±a^2的不定積分
∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+c、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+c
(3)含ax^2±b的不定積分
∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+c
2、不定積分的求解方法
(1)換元積分法
例:∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2*e^(2x)+c
(2)積分公式法
例:∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cosxdx=sinx+c
(3)分部積分法
例:∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=(x-1)*e^x
7樓:116貝貝愛
^結果為:(1/2)arctan[(x+1)/2]+ c
解題過程如下:
原式=∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫(1/4)/[ [(x+1)/2]^2+1]dx
=∫(1/4)·2/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)∫1/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+ c
求函式積分的方法:
設f(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分,記作,即∫f(x)dx=f(x)+c。
其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
若f(x)在[a,b]上恆為正,可以將定積分理解為在oxy座標平面上,由曲線(x,f(x))、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值(一種確定的實數值)。
常用積分公式:
8樓:匿名使用者
∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫(1/4)/[ [(x+1)/2]^2+1]dx=∫(1/4)·2/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)∫1/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+ c上面對你搜到的答案進行了細化。
主要還是利用公式:∫[1/(x^2 +1)]dx=arctan(x) +c,本題中配方後,後面出現4,不是1,因此要通過變形,構造成滿足公式的形式。你搜到的答案倒數第二步寫得不清楚,所以難以理解。
9樓:匿名使用者
^把(x+1)做為一個整體 即令x+1=t∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)=∫1/(t^2+2^2)dt
=1/2∫1/[t/2)^2+1]d(t/2)=(1/2)arctan(t/2)+c
代回t=x+1
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+c
10樓:
^∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
分子分母同除以4
=∫(1/4)/[(x/2+1/2)^2+1]dx=(1/4)*2∫1/[(x/2+1/2)^2+1]d(x/2+1/2)
=1/2∫1/[(x/2+1/2)^2+1]d(x/2+1/2)=1/2arctan[(x+1)/2]+c明白?可繼續問.
附:arctanx'=1/(1+x^2)
11樓:笑年
=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)=∫1/2^2d(x+1) 在分母把2^2提出來=1/4∫1/d(x+1)
=1/2∫1/d(x+1)/2
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+c ( 有公式 (arctanx)'=1/(x^2+1) )
12樓:帥哥靚姐
∫1/(x2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)2+4]dx
=∫1/[(x+1)2+22]d(x+1)=∫(1/4)/([(x+1)/2]2+1)=(1/2)∫d[(x+1)/2]/([(x+1)/2]2+1)=(1/2)arctan[(x+1)/2]+c
13樓:匿名使用者
第二步就配平方,第三步換元,
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + c
14樓:匿名使用者
微分裡面需要湊成d(x+1)/2
求不定積分∫(1+x^2)^1/2dx
15樓:demon陌
令x=tan(t), 則dx=(sect)^2dt帶入∫62616964757a686964616fe78988e69d8331333431343734(1+x^2)^(1/2)dx
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=sect*tant-∫sect*tan2tdt=sect*tant-∫sect(sec2t-1)dt=secttant-∫sec3tdt+∫sectdt=secttant-∫sec3tdt+ln|sect+tant|2∫sec3tdt=secttant+ln|sect+tant|∫sec3tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+c
反帶回得:
∫(1+x^2)^1/2dx
=(x√(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+c連續函式,一定存在定積分和不定積分;若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界,則定積分存在;若有跳躍、可去、無窮間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。
16樓:不是苦瓜是什麼
令x=tanθ62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333431353262,-π/2<θ<π/2
即dx=secθ^2*dθ
則∫(1/√1+x^2)dx
=∫(1/√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ
=∫(1/cosθ)dθ
=∫[cosθ/(cosθ)^2]dθ
=∫1/[1-(sinθ)^2]d(sinθ)
=1/2*ln[(1-sinθ)/(1+sinθ)]+c
=ln[x+√(1+x^2)]+c(c為常數)
求1/根號(1+x^2) 的原函式就是求函式1/根號(1+x^2) 對x的積分。
求1/根號(1+x^2) 的原函式,用」三角替換」消掉根號(1+x^2)。
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c,a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c,其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c
= - ln|secx - tanx| + c
= ln|secx + tanx| + c
17樓:匿名使用者
^^令x=tan(t), 則zhidx=(sect)^dao2dt,帶入∫內(1+x^2)^(1/2)dx
=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=sect*tant-∫sect*tan2tdt=sect*tant-∫sect(sec2t-1)dt=secttant-∫sec3tdt+∫sectdt=secttant-∫sec3tdt+ln|sect+tant|2∫sec3tdt=secttant+ln|sect+tant|∫sec3tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+c
反帶回得:
∫(1+x^2)^1/2dx
=(x√
容(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+c
不定積分x24x2dx,求不定積分x24x2dx
具體如圖所示 一個函式,可以存在不定積分回,而不答存在定積分,也可以存在定積分,而沒有不定積分。連續函式,一定存在定積分和不定積分。若在有限區間 a,b 上只有有限個間斷點且函式有界,則定積分存在 若有跳躍 可去 無窮間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。求不定積分 x 2 4 x 2 ...
求x根號x 2 1dx的不定積分
不定積分的結果為 1 3 x 1 62616964757a686964616fe78988e69d8331333431353262 3 2 c，計算過程為 x x 1 dx x 1 d x 2 1 2 x 1 d x 1 2 x 1 d x 1 1 2 u du，令u x 1 1 2 u 1 2 d...
x 2 a 2x 2 a 2 dx求不定積分
其實你兩個都打錯的，是不是 x b x a dx？x b x a dx x a b a x a dx 1 b a x a dx dx b a dx x a x b a 1 a arctan x a c x b a a arctan x a c 1 x 2 a 2 x 2 a 2 dx 1 b 2 a...