證明 若函式f x 在上可導,f 0 0,且對任意x,有f xf x則f x 在

1樓：手機使用者

令 f(x) = f(x) - x, f(0) > 0, f(1) < 0, f(x)在[0,1]上可導=>連續，

故至少在(0,1)內有一點ξ，使得 f(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.

下面用反證法證明 ξ 只有一個。

假設存在ξ1，ξ2∈(0,1) , f(ξ1) =0, 且 f(ξ2) = 0.

由羅爾中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), f '(η) = f '(η) - 1 = 0

=> f '(η) = 1 這與 f(x)的導數不為1 矛盾，假設錯誤。

因此在(0,1)內有唯一點，使得 f(ξ) = ξ.

滿意請採納。

2樓：狗咬你爹心

由g(x)=

f(x)

x得g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2，因為xf/(x)＞f(x)，

所以g/(x)＞0在x＞0時恆成立，所以函式g(x)=f(x)

x在(0，+∞)上是增函式.

3樓：漠影

你現在會了嗎？能告訴我嗎？

設函式f(x)在x=0處可導，討論函式|f(x)|在x=0處的可導性。

4樓：o客

1. 若函式f(x)在x=0的某個鄰域內不變號，即在這個鄰域內f(x)≥0恆成立，或f(x)≤0恆成立，則在這個鄰域內|f(x)|=±f(x)，

顯然，函式|f(x)|在x=0處可導。

2. 若函式f(x)在x=0的任意鄰域內變號，在這個鄰域內，

不妨設x>0， f(x)>0，

有|f(x)|=f(x) ，這時|f(0+)|』=f』(0+)；

x<0，f(x)<0，有|f(x)|=-f(x)， 這時|f(0-)|』=-f』(0-)。

由函式f(x)在x=0處可導，知f』(0+)=f』(0-).

又由假設知，f』(0)≠0，即f』(0+)=f』(0-)≠0（不然的話，x=0是f(x)的駐點，f(x)在這點將改變增減性，與f』(0+)=f』(0-)矛盾）

所以， 函式|f(x)|在x=0處不可導。

親，舉例如下。

1. y=cosx，y=-x²。

2. y=sinx，y=x.

已知函式f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1． 證明： (

5樓：空如此生丶

微分方程學bai過沒

y`+(2+x/x)y=0

那麼同時乘du

以e^zhi[∫(2+x/x)dx]=x^2e^x所以構造函dao數f(x)=x^2e^xf(x) 則f`專(x)=e^x[x^2f(x)+2xf(x)+x^2f`(x)] (因為x>0可以提屬出一個x)

就化為f`(x)=xe^x[xf(x)+2f(x)+xf`(x)]

設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0

6樓：匿名使用者

證：建構函式f(x)=xf(x)

f(0)=0·f(0)=0，f(1)=1·f(1)=1·0=0f'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)由羅爾中值定理，在(0，1)內，至版少存在一點ξ權，使得：

f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=(0-0)/(1-0)=0

f(ξ)+ξf'(ξ)=0

f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

7樓：俺們張學建

最簡單的方法，構造特殊函式,f(x)=0,

8樓：孝飛白寶清

證明：du設g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x)

,g(1)=1f(1)=0

,g(0)=0*f(0)=0

所以g(x)在zhi[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中dao

值定理得：

存在內一點ε

容∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε)=(g(1)-g(0))/(1-0)=0

所以f'(ε)=-f(ε)/ε

設函式f(x)在[0,1]上可導，且0