1樓：
證明：去掉絕對值符號後，函式f(x)化簡得
f（x）=f(x)-xf(x)，（x＜0）；
f（x）=f(x)，（x=0）；
f（x）=f(x)+xf(x)，（x>0）
1°.f（0）=0是f'（x）存在的充分條件
因為函式f(x)可導，所以
（i）當x>0時，f『（x）=f'(x)+f(x)+xf』(x)；
（ii）當x＜0時，f（x）=f'(x)-f(x)-xf』(x)；
（iii）當x=0時，
下面討論f（x）在x=0處的可導情況：
因為lim(x-->0﹣，f（x）)=lim(x-->0﹣，f(x)-xf(x))=f(0﹣)-0*f(0﹣)=f(0)=f（0）；
lim(x-->0﹢，f（x）)=lim(x-->0﹢，f(x)+xf(x))=f(0﹢)-0*f(0﹢)=f(0)=f（0）；
所以lim(x-->0﹣，f（x）)=lim(x-->0﹢，f（x）)=f（0），
即函式f（x）在x=0處連續。
因為f'(0﹣)
=lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，[f(x)-xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，-f(x))+lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=-f(0﹣)+f』(0﹣)
=-f(0)+f』(0)
=-0+f』(0)
=f』(0)
f'(0﹢)
=lim(x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，[f(x)+xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，f(x))+lim（x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=f(0﹢)+f』(0﹢)
=f(0)+f』(0)
=0+f』(0)
=f』(0)
所以f'(0﹣)=f'(0﹢)，即函式f（x）在x=0處可導，
綜上，當f（0）=0時，f'（x）皆存在。
2°.f（0）=0是f'（x）存在的必要條件
因為f'（x）存在，所以函式f（x）在x=0處可導，
所以函式f（x）在x=0處連續，且f'(0﹣)=f'(0﹢)。
因為f'(0﹣)
=lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，[f(x)-xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，-f(x))+lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=-f(0﹣)+f』(0﹣)
=-f(0)+f』(0)
f'(0﹢)
=lim(x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，[f(x)+xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，f(x))+lim（x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=f(0﹢)+f』(0﹢)
=f(0)+f』(0)
所以-f(0)+f』(0)=f(0)+f』(0)，
所以f(0)=0，
即若f'（x）存在，則f（0）=0。
綜合1°和2°，
若函式f(x)可導，f（x）=f(x)(1+|x|),則f（0）=0是f'（x）存在的充要條件。
（證畢）
2樓：
充要條件。
從左導數和右導數考慮（即求導時的左極限和右極限）
當x不為0時，f(x)是兩個可導函式的乘積，故可導。所以只用考慮x=0的情況。
f(x)在0的左導數等於f(x)(1-x)的左導數，而後者可以直接求導，所以
f'-(0) = f'(0)(1-0) - f(0) = f'(x) - f(0)
同理，f(x)在0的右導數等於f(x)(1+x)的右導數，所以
f'+(0) = f'(0)(1+0) + f(0) = f'(0) + f(0)
可導要求左右導數相等，所以可導當且僅當f(0) = 0
3樓：匿名使用者
供參考所以是充分必要條件。
設f(x)可導，f(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是f(x)在x=0處可導的 100
4樓：
是充分必要條件。
f'(0+)=f'(0)+f(0)，利用定義來化解，其中用到了極限的加法還有sinx/x（x->0）的極限。
f'(0-)=f'(0)-f(0),同樣利用定義來化解，其中有|sinx|=-sinx。
當f'(0)存在,f'(0+)=f'(0-),則f(0)=0當f(0)=0時，有f'(0+)=f'(0-)，則f'(0)存在。
5樓：茹翊神諭者
充要條件，詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
6樓：拿破輪小屁屁
d根據導數的定義，
f'(x)=（f(x)-f(0)）/（x-0）分別當x->0+，x->0- 時 f'(0+)=f'(0-),則說明f'(0)存在，即 f(x)在x=0處可導
當f(0)=0時易得f'(0)存在，為0；
而當f'(0)存在時卻不能得到f(0)=0，所以答案選d
【考研數學】設f(x)可導，f(x)=f(x)(1+|sin x|)則f(0)=0是f(x)在x=0處可導的（ ）條件
7樓：匿名使用者
用導數的定義
當x趨向於正零時，f（x）在0處的導為：
lim (f(x)-f(0)) / x = lim (f(x) + f(x)sinx - f(0)) / x = lim (f(x) - f(0)) / x + lim f(x)sinx / x = f'(0) + f(0)
當x趨向於負零時，f（x）在0處的導為：
lim (f(x)-f(0)) / x = lim (f(x) - f(x)sinx - f(0)) / x = lim (f(x) - f(0)) / x - lim f(x)sinx / x = f'(0) - f(0)
f(x)在0處可導，則f'(0) + f(0) = f'(0) - f(0)，f(0) = 0
設函式f(x)在x=0處可導，討論函式|f(x)|在x=0處的可導性。
8樓：o客
1. 若函式f(x)在x=0的某個鄰域內不變號，即在這個鄰域內f(x)≥0恆成立，或f(x)≤0恆成立，則在這個鄰域內|f(x)|=±f(x)，
顯然，函式|f(x)|在x=0處可導。
2. 若函式f(x)在x=0的任意鄰域內變號，在這個鄰域內，
不妨設x>0， f(x)>0，
有|f(x)|=f(x) ，這時|f(0+)|』=f』(0+)；
x<0，f(x)<0，有|f(x)|=-f(x)， 這時|f(0-)|』=-f』(0-)。
由函式f(x)在x=0處可導，知f』(0+)=f』(0-).
又由假設知，f』(0)≠0，即f』(0+)=f』(0-)≠0（不然的話，x=0是f(x)的駐點，f(x)在這點將改變增減性，與f』(0+)=f』(0-)矛盾）
所以， 函式|f(x)|在x=0處不可導。
親，舉例如下。
1. y=cosx，y=-x²。
2. y=sinx，y=x.
設f（x）可導，f（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0是f（x）在x=0處可導的（ ）a．充分必要條件b．
9樓：怪蜀黍
解答：解；∵f（x）可導∴f′（0）存在，f（x）在x=0連續又∵f′(0)＝lim
x→0f(x)?f(0)
x＝lim
x→0f(x)(1+|sinx|)?f(0)x∴f′
?(0)＝lim
x→?f(x)(1?sinx)?f(0)
x=lim
x→?f(x)?f(0)
x?lim
x→?f(x)sinx
x=f′（0）-f（0）f′+
(0)＝lim
x→+f(x)(1+sinx)?f(0)
x=lim
x→+f(x)?f(0)
x+lim
x→+f(x)sinx
x=f′（0）+f（0）
∴f′（0）??f′-（0）=f′+（0）?f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0）?f（0）=0
故選：a．
設f(x)可導，f（x）=f(x)(1+|sinx|),若f（x）在點x=0處可導，則必有（？）
10樓：親愛者
設f(x)可導，f（x）=f(x)(1+|sinx|),若f（x）在點x=0處可導，則必有f(0)=0。
∵f（0）=0，
∴lim
x→0f(x)-f(0)
x=lim
x→0f(x)(1+|sinx|)
x=lim
x→0f(x)
x=f′（0），
故f（x）在x=0處可導；
若f（x）在x=0處可導，
當x在0的左側附近時，
f（x）=f（x）（1-sinx），
f′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，當x在0的右側附近時，
f（x）=f（x）（1+sinx），
f′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，故lim
x→0-
f(x)-f(0)
x=f′（0）-f（0），
limx→0+
f(x)-f(0)
x=f′（0）+f（0），
∴f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），∴f（0）=0；
11樓：我北方的美芳
在0附近
x<0 時f（x)=f(x)(1-sinx)x>o時f(x)=f(x)(1+sinx)x<0時 f'(x)=f'(x)-f'(x)sinx-f(x)sin'x 【1]
x>0時f'(x)=f'(x)+f'(x)sinx+f(x)sin'x [2]
因為f(x)在 x=0處可導
所以 x趨向於0-時於趨向於0+時 f'(0)- = f'(0)+所以x=0時 式=式
所以f'(0)-f'(0)sin0-f(0)sin'0 =f'(0)+f'(0)sin0+f(0)sin'0
整理 知f(0)=0選a
設f(x)可導，f(x)=f(x)(1+｜sinx|).若f(x)在x=0處可導，則必有
12樓：善言而不辯
||f(x)=f(x)(1+|dusinx|)f'(x)=f'(x)(1+|zhisinx|)+f(x)(1+|sinx|)'
由於(1+|sinx|)在x=0處不可導（左dao導數回=-1，右導數=1）
f(x)在x=0處可導一定答有：f'(x)=f'(x)(1+|sinx|)+0
即f(0)=0
設函式f x 在上連續，在（0,1）上可導，且f 1 f 0 0,f
根據有關法則，f 應當連續，而且有一點是0 假如f 在定義域不等於1，那麼一定小於1，則 0 1 2 f 1 2,這與f 1 2 1矛盾，故題設成立 可以考慮羅爾定理 答案如圖所示 一 1 令f x f x x 則f 1 2 1 2,f 1 1 有零點定理知，f x 在 1 2 1 上有零點，故存在...
設函式f x 在上可導，且0f x 1，證明
1 也就是要抄證明h x f x x在 0,1 記憶體在零點 襲。先看存在性 h 0 f 0 0，h 1 f 1 1 0，可以知道h x 在 0,1 內有零點 也就是h 0，或者f 想想看 f x 是連續函式 這個條件用在了 但是，要證明唯一性，條件還不充分，舉個反例 這個題實際上是要說明曲線y f...
設函式fx在上連續,在a,b內可導,且f
設g x f x e x 則g x 在 a,b 上滿足羅爾定理條件.g x f x f x e x 所以 a,b 內至少存在一點c,使得g c 0,即有f c f c 0。設函式f x 在 a,b 上連續,在 a,b 內可導,且f a f b 0.建構函式f x f x e g x 則f x 在 a...