拋物線y 2 4 x 1 與y 2 4 1 x 所圍圖形的面積

2021-06-27 22:25:34 字數 2609 閱讀 9672

1樓:

拋物線y^2=4(x+1)與y^2=4(1-x)所圍圖形的面積16/3。

解:拋物線y^2=4(x+1)為開口向右的拋物線,拋物線y^2=4(1-x)為開口向左的拋物線。

且拋物線y^2=4(x+1)與拋物線y^2=4(1-x)的交點為,

a(0,-2),b(0,2)。

那麼通過定積分可得兩條拋物線所圍成的面積為,

s=∫(-2,2)△xdy

=∫(-2,2)((1-y^2/4)-(y^2/4-1))dy

=∫(-2,2)(2-y^2/2)dy

=(2y--y^3/6)(-2,2)

=16/3

即所圍圖形的面積16/3。

擴充套件資料:

1、定積分∫(a,b)f(x)dx的性質

(1)當a=b時,∫(a,b)f(x)dx=0。

(2)當a>b時,∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。

(3)常數可以提到積分號前。即∫(a,b)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx。

2、利用定積分求旋轉體的體積

(1)找準被旋轉的平面圖形,它的邊界曲線直接決定被積函式。

(2)分清端點。

(3)確定幾何體的構造。

(4)利用定積分進行體積計算。

3、定積分的應用

(1)解決求曲邊圖形的面積問題

(2)求變速直線運動的路程

做變速直線運動的物體經過的路程s,等於其速度函式v=v(t) (v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分。

(3)求變力做功

某物體在變力f=f(x)的作用下,在位移區間[a,b]上做的功等於f=f(x)在[a,b]上的定積分。

2樓:匿名使用者

這類求平面曲線圍成面積的題,先畫圖看清積分域,然後用定積分做。

第一步、畫圖

觀察區域,曲線交點為 (0,2),(0,-2) 發現把積分寫成關於y的函式對y積分比較好做。

第二步、寫出積分並求積分

3樓:匿名使用者

用積分來做比較好

先判定兩拋物線有沒2個交點,若有求出交點(x1,y1),(x2,y2)也就是(0,-2),(0,2)

然後求出f(y)=f(y1)-f(y2) 在y1到y2間的積分即可f(y)=0.25y^2-1-(1-0.25y^2)=0.5y^2-2

(0.5y^2-2)dy=(y^3)/6-2ys=16/3

過程大致是這樣,計算結果不清楚,你自己可以算算

x^4+y^2=1的圖象

4樓:犀牛望月

這個函式圖形是兩個圖象的組合,因為函式中存在絕對值,所以有兩個可能1、y=1/4(x²-4)

2、y=1/4(-x²+4)  即  y=-1/4(x²-4)將兩個圖象y>=0的部分進行組合(因為該函式有絕對值,所以函式值必大於等於0)

如圖所示

5樓:匿名使用者

關於x,y軸都對稱,僅畫第一象限,

y=sqrt[1-x^4] x屬於[0,1],

影象好像一個圓.

6樓:匿名使用者

首先你可以看到 這個函式的即是奇函式也是個偶函式,因此它的圖象可以先畫出第一象限的部分,然後再對稱映象到第二象限,將

一、二象限的圖象再映象到

三、四象限,得到的就是函式的圖象

因此你可以畫出第一象限部分

在第一象限函式可寫為y=√(1-x^4)

畫出來的圖跟圓差不多

7樓:

用matlab可以畫

求由拋物線y^2=2x與該曲線在點(1/2,1)處的法線所圍成圖形的面積

8樓:love賜華為晨

在點(1/2,1)處的導數是y導數=1 所以法線斜率是k=-1所以法線方程 x+y-1.5=0

聯立y^2=2x和方程 x+y-1.5=0 得y1=1或者y2=-3d 的面積積分 ∫[(1.5-y)-0.5y²] dy 積分上限是1 下限是-3

=1.5y-0.5y²-1/6y³

=16/3

9樓:唐衛公

y² = 2x, 2yy' = 2, y' = 1/y在點p(1/2, 1)的切線斜率為k = 1, 法線斜率為k' = -1, 法線為: y - 1 = -(x - 1/2)

x = 3/2 - y

這裡用y為自變數較為容易

法線與拋物線的另一個交點為q(9/2, -3)

10樓:唐衛公

對拋物線求導:2yy' = 2, y' = 1/y過已知點的切線斜率為k = 1/1 = 1, 法線斜率為k' = -1/k = -1

法線為y - 1 = -(x - 1/2), x = -y +3/2與拋物線聯立得交點為a(1/2, 1), b(9/2, -3) (前者已知)

因為x>0時,y可以取兩個值,所以用y為自變數積分比較方便,上方是法線x = -y + 3/2, 下方是拋物線x = y²/2, 被積函式為3/2 - y - y²/2, 積分割槽間為[-3, 1]。

結果為16/3

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