1樓：電燈劍客
一般的結論是。
a可對角化<=>a的極小多項式沒有重根。
這裡a的極小多項式是x(x-1)的因子，所以可對角化，特徵值1的個數當然就是a的秩。
為什麼矩陣a*2=a可對角化,則其特徵值只能是0或
2樓：網友
先證其特徵值只能為0和1
設k是他的特徵值，a為其對應的特徵向量。
a^2a=aka=k^2a
因為a^2=a,故a^2a=aa=ka
k^2-k)a=0,因為a為非零向量故k=0或1矩陣可對角化。
因為a(a-e)=0
故n=r(a-(a-e))<=r(a)+r(a-e)<=n故(a-e)x=0的解空間維數恰為r(a)，那麼1的重數》=r(a)類似的ax=0的解空間維數恰為r(a-e)，那麼0的重數》=r(a-e)
但1的重數加0的重數不大於n，夾逼得1的重數=r(a)，且其對應的線性無關的特徵向量有r(a)個，0的重數=r(a-e)，且其對應的線性無關的特徵向量有r(a-e)個不同的特徵值對應的特徵向量線性無關，所以一共有n個線性無關的特徵向量，故其可以對角化。
已知3階矩陣，有乙個二重特徵值2，求a，並討論a可否對角化
3樓：網友
這樣的題目先把|a-λe|寫出來，根據已知資訊進行判斷，可以求出未知引數；
對於重根特徵值重根數為a,計算相應的a-λe的秩，看看是否有n-r(a-λe)=a 個特徵向量；
有則可以相似對角化；
另外：求特徵值時還有tr(a)可以利用，本題中三個特徵值的和等於1+4+5=10
矩陣a有n個不同的特徵值，特徵值中有0。請問a可以可以對角化嗎？
4樓：雅祥人
是的，必定可以。但是要在同乙個數域才能成立。
矩陣a平方=a，如何證明a可對角化啊？
5樓：網友
因為 a^2=a
所以 a 的特徵值只能是 0, 1
再由 a(a-e)=0
所以 r(a)+r(a-e)<=n
而 n = r(e) = r(a-(a-e)) = r(a)+r(a-e)
所以 r(a)+r(a-e) = n
所以 a 的屬於特徵值0或1的線性無關的特徵向量有n個所以 a 可對角化。
如何快速判斷特徵值重複的矩陣是否可對角化？
6樓：mono教育
如果a可以對角化，那麼有乙個結論：r(a-λe)=階數-特徵值重數，這裡特徵值兩重，3階，那麼這個秩就是1，這就是結論的由來。對 a-λe 進行行變換，化成行階梯，可以看出要使這個秩為1就要使 a=1。
或者這裡 r(a)<3，則 |a|=0。
n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對於a的每乙個ki重特徵根λi，齊次線性方程組（λii-a）x=0的基礎解系由ki個解向量構成。
7樓：雪域之巔_冰蓮
這麼說吧，你倒過來想就明白了，a可以對角化，所以相同特徵值的特徵向量線性無關。
然後你要解（e-a）x=0這個矩陣吧，重根有兩個，意思就是有兩個線性無關的解向量，有個公式是n-r（e-a）=2，所以r（e-a）=n-2=3-2=1是不是。
8樓：常開顏
n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對於a的每乙個ki重特徵根λi，齊次線性方程組（λii-a）x=0的基礎解系由ki個解向量構成。
9樓：看遍天下我自知
你好，我想問問為什麼我用 |λe-a|算出來a=-1，用|a-λe|算出來a=1。兩個都對，還是我算錯了？
證明 若矩陣a可對角化，則a的秩與其非零特徵值的個數相等
10樓：電燈劍客
既然a可對角化，相似變換不改變秩，把a對角化即得結論。 零矩陣（當然必須是方陣）也算是對角矩陣。
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