1樓：郎幼白野思
設a是m×n的矩陣。
可以通過證明
ax=0
和a'ax=0
兩個n元齊次方程同解證得
r(a'a)=r(a)
1、ax=0
肯定是a'ax=0
的解，好理解。
2、a'ax=0
→x'a'ax=0
→(ax)'
ax=0
→ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得
r(aa')=r(a')另外有
r(a)=r(a')
所以綜上
r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
2樓：鄒夢寒朋建
這個樣子可能可以：
a=peq
其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣
那麼a'=q'e'p';
所以aa'=peqq'e'p';
設qq'=(x
y)(z
w)其中x為r*r的矩陣且其軼也為r，因為它是可逆矩陣的一個分塊。
所以上式可以化簡為：
aa'=p(x
o)q(0
0)而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x
o)(0
0)所以它就等於r。
可能看起來比較不爽，可是我也打不出來比較好的效果，湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).
3樓：
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
4樓：匿名使用者
這個樣子可能可以：
a=peq 其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣那麼a'=q'e'p';
所以aa'=peqq'e'p';
設qq'=(x y)
(z w)
其中x為r*r的矩陣且其軼也為r，因為它是可逆矩陣的一個分塊。
所以上式可以化簡為：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等於r。
可能看起來比較不爽，可是我也打不出來比較好的效果，湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
5樓：匿名使用者
king__dom的做法很棒
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).詳細解答
6樓：匿名使用者
證明:(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)設x2是a'ax=0的解, 則a'ax2=0等式兩邊左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
綜上知齊次線性方程組ax=0與a'ax=o是同解方程組.
所以 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a) = r(a'a).
所以 r(a) = r(a') = r((a')'a') = r(aa').
7樓：胡圖小生
構造方程 1 ax=0
2 aa'x=0
證明1，2同解
我看到你的那個 矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).的解答 問下如果如果是在複數域上
8樓：匿名使用者
r（a的共軛轉置*a）=r(a)，證明中把原來的轉置都改為共軛轉置就行了
矩陣與其轉置矩陣乘積的秩與本身的秩
9樓：林若宇小木
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過
證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
矩陣與其轉置矩陣乘積所得到的矩陣的秩與該矩陣的秩有何關係
10樓：電燈劍客
如果a是mxn的實矩陣，那麼rank(aa^t)=rank(a^ta)=rank(a)
如果進一步有rank(a)=n（此時顯然一定要有m>=n），那麼rank(a^ta)是n階可逆陣
矩陣a乘以a的轉置為什麼等於a的行列式的平方
11樓：angela韓雪倩
|||aa^t| = |a| |a^t| = |a||a| = |a|^2
det(ab)=det(a)det(b)(證明起來不那麼容易，也算是基本性
質之一)
det(a^t)=det(a)(行列式的基本性質)
∴det(a*a^t)=det(a)det(a^t)=det(a)^2
因為a*a^t是一個矩陣，而a的行列式的平方是一個數，兩者是不相等的。
擴充套件資料：
矩陣的乘法滿足以下運算律：
矩陣乘法不滿足交換律。
性質：①行列式a中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於ka。
②行列式a等於其轉置行列式at(at的第i行為a的第i列)。
③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。
④行列式a中兩行（或列）互換,其結果等於-a。
12樓：歐陽李志鋒
你說的是||a||²吧，這個其實是矩陣的模來的，並不是|det（a）|²
向量的模的平方||x||²=x^(t)x
13樓：匿名使用者
^det(ab)=det(a)det(b)(證明起來不那麼容易，也算是基本性質之一)
det(a^t)=det(a)(行列式的基本性質)∴det(a*a^t)=det(a)det(a^t)=det(a)^2
你說的是這個意思吧？
實際上你的表述是不正確的，因為a*a^t是一個矩陣，而a的行列式的平方是一個數，兩者是不相等的
14樓：輕黍
因為經轉置行列式值不變???
15樓：w別y雲j間
||||
推理過程如下：
|aa^t| = |a| |a^t| = |a||a| = |a|^2
在數學中，矩陣（matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合[1] ，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。
矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。
在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
16樓：信人尉遲靈雨
|aa^t|
=|a|
|a^t|
=|a||a|
=|a|^2
17樓：晁諾譙昌
因為|a|=|a'|
轉置矩陣的行列式等於原矩陣的行列式
而乘積矩陣的行列式等於行列式的乘積
|aa'|=|a||a'|
所以|aa'|=|a||a'|=|a||a|=|a|²
18樓：吸霾
沒說a是方陣啊，a不是方陣時怎麼求啊，有公式麼
為什麼單位列向量乘以它的轉置，結果的秩等於1？
19樓：徐佳順
r(ab)<=min，非零列向量秩等於1，所以r(aat)<=1，a和at相乘肯定有不為零的元素，因為主對角線上是列向量各個元素的平方，它們相乘不是零矩陣，所以r(aat)>=1，推出r(aat)=1
20樓：匿名使用者
打個簡單的比方，1乘以1的倒數，結果還是1
21樓：
因為乘完之後的矩陣各行向量成比例呀~
22樓：時刻不在象
這是數學的定律，可以說是一種規律。
23樓：聽雨軒彧
不對，應該是3*3的矩陣
單位列向量轉置與該向量乘積的特徵值
a xx 才對 設ay ty 那麼xx y ty x y x 若x,y成比例 來,不妨設源y x,則t 1 否則t x y 0,這樣的y形成的是n 1維空間,即它又n 1個線性無關的解 所以特徵值只能是1和0,且只有一個1,其餘n 1重都是0 證明 1 首先a 2 xxt xxt 用結合律 x xt...
矩陣A乘以A的轉置等於常量矩陣B，怎麼求矩陣A,能求出A
若b為n階hermite正定矩陣，則存在n階矩陣a 且a為下三角矩陣，使得b等於 a乘以a的共軛轉置。放在實數域內就是 a乘以a的轉置矩陣了，呵呵，其實 這就是所謂矩陣的cholesky分解。應該能求吧 矩陣a既然能乘以矩陣a的轉置，說明m n，如果不是很多未知量，全部設未知a ij 矩陣乘法運算，...
設A是正交矩陣,則行列式AA的轉置
正交矩陣的定義是aa t e,所以aa t的行列式等於1,而a的行列式等於 1。設a為正交矩陣 且a的行列式 為 1 則 a的伴隨等於 a的轉置 幫忙給個 yijuhua aa a e e a a e 則a a t 證明若a是正交矩陣,則a的行列式等於正負1 a是正交矩陣即 a乘a轉置矩陣 單位矩陣...