1樓：犁微蘭朋娟
一.這樣的題目可由柱座標系和球座標系來解答，柱座標系是先在面上二重積分用極座標然後在單積分在z軸上；球座標系類似一個地球儀（實心的），由球上任意一點到原點的距離r和經度和緯度表示，一個實際的例子就是在地球上任意一點可由全球定位系統唯一的表示出。
二.1.首先極座標系是由極軸繞點按逆時針方向旋轉，繞過的角度稱為極角。
2.極座標系與直角座標系可以互換，但極座標系一般適用於點到定軸的距離等距的形式，比如圓柱體，圓錐體，拋物面等，因為這直接與極軸與極角聯絡非常容易表示，這些圖形的切面都是類似圓面。如何確定r和角度？
要看極軸掃過的地方是否是圖形的區域來決定，然後具體作答
3.在設極座標時要看題目的圖形，可能是實心面（一般題目都是這樣的，因為那個r是變化的，實心面要考慮面上的任意一點），也可能是空心面（例如環，這時r就是一個定值）
三.好好做上一兩道題，試著用不同的方法計算解答，一般所有的積分題目至少有兩種解法，比較優劣，（但一般都是球座標較好，就是一般題型，不是你上面所說的）但是計算旋轉體時用柱座標好
2樓：饒穎卿苗亥
微元法,
選取dr和dθ唄.
繞其他直線有的時候可以考慮旋轉,平移座標系,然後變成繞座標軸旋轉
繞極軸旋轉體積
3樓：蹉軼劉皓潔
一.這樣的題目可由柱座標系和球座標系來解答,柱座標系是先在面上二重積分用極座標然後在單積分在z軸上；球座標系類似一個地球儀（實心的）,由球上任意一點到原點的距離r和經度和緯度表示,一個實際的例子就是在地球上任意一點可由全球定位系統唯一的表示出.
二.1.首先極座標系是由極軸繞點按逆時針方向旋轉,繞過的角度稱為極角.
2.極座標系與直角座標系可以互換,但極座標系一般適用於點到定軸的距離等距的形式,比如圓柱體,圓錐體,拋物面等,因為這直接與極軸與極角聯絡非常容易表示,這些圖形的切面都是類似圓面.如何確定r和角度?
要看極軸掃過的地方是否是圖形的區域來決定,然後具體作答
3.在設極座標時要看題目的圖形,可能是實心面（一般題目都是這樣的,因為那個r是變化的,實心面要考慮面上的任意一點）,也可能是空心面（例如環,這時r就是一個定值）
三.好好做上一兩道題,試著用不同的方法計算解答,一般所有的積分題目至少有兩種解法,比較優劣,（但一般都是球座標較好,就是一般題型,不是你上面所說的）但是計算旋轉體時用柱座標好
如何在極座標下計算旋轉體體積? 5
4樓：諾諾百科
用guldin公式,取dθ分成的小扇形，由三角形重心公式知其重心位置高2/3*r(θ)*sinθ，微元面積為ds=1/2*(r(θ))*(r(θ))d(θ)；
用guldin公式重心軌跡長為2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面積dv=2/3*r(θ)三次方*sinθ積分即可。
例如：r = a(1 + cosθ),繞極軸旋轉，求體積0 <= θ <= π.
曲線上一點(θ,a(1 + cosθ)) 到極軸的距離的平方為[a(1 + cosθ)sinθ]^2
當θ變化到(θ+dθ)時，點在曲線上變化的弧長為a(1+cosθ)dθ
所以 ，旋轉體的體積
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 2a^3π*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 2a^3π[π/4]
= a^3π^2/2
關於θ的從0到π的定積分，被積函式為= 0關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 3a^3π/2*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 3a^3π/2*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 3a^3π/2[π/4]
= 3a^3π^2/8
關於θ的從0到π的定積分，被積函式為= 0所以，旋轉體的體積= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為= a^3π^2/2 + 0 + 3a^3π^2/8 + 0= 7a^3π^2/8
5樓：
何必呢?計算體積直角座標系比較方便啊v=∫π[f(x)]^2dx,轉化成直角座標就可以了。極座標計算面積比較方便s=∫(1/2)r^2dθ，r=r(θ）。
把a<=r<=sqr(2sin(2θ))轉化成a^2<=x^2+y^2<=2xy就可以積分了,化個圖就很直觀了.
6樓：來自西遞村粉腮紅潤的鵝掌楸
我在座標記錄下來計算旋轉體積。其實這個問題太快了。
極座標下旋轉體體積 40
7樓：匿名使用者
r = a(1 + cosθ),繞極軸旋轉，求體積0 <= θ <= π.
曲線上一點(θ,a(1 + cosθ)) 到極軸的距離的平方為，[a(1 + cosθ)sinθ]^2
當θ變化到(θ+dθ)時，點在曲線上變化的弧長為，a(1+cosθ)dθ
所以 ，
旋轉體的體積
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
而關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 2a^3π*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 2a^3π[π/4]
= a^3π^2/2
關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 0關於θ的從0到π的定積分，被積函式為= 3a^3π/2*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 3a^3π/2*關於θ的從0到π/2的定積分，被積函式為= 3a^3π/2[π/4]
= 3a^3π^2/8
關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= 0.
所以，旋轉體的體積
= 關於θ的從0到π的定積分，被積函式為
= a^3π^2/2 + 0 + 3a^3π^2/8 + 0= 7a^3π^2/8
8樓：
先畫個圖，圖的樣子是一個曲邊梯形，平行的兩邊是x=a,x=b，上下分別是y=f(x)和x軸
將曲邊梯形沿x軸分割成若干個小的曲邊梯形，則大的曲邊梯形繞著y軸旋轉地體積等於各個小曲邊梯形繞著y軸旋轉地旋轉體體積之和
所以，該體積在[a,b]上對於變數x具有可加性
在[a,b]任取一小區間[x,x+dx]，並設其旋轉體積是δv（旋轉後是個圓柱的薄殼）(令dx=δx>0)
則，δv介於兩圓柱薄殼的體積之間
2πx|f(ξ1)|δx≤δv≤2πx|f(ξ2)|δx
《圓環的體積是 2πx|f(x)|δx >
其中，|f(ξ1)|=min, x≤t≤x+δx
|f(ξ2)|=max, x≤t≤x+δx
即，2πx|f(ξ1)|≤δv/δx≤2πx|f(ξ2)|
由於f(x)連續，ξ1,ξ2∈[x,x+δx]
可知，當δx→0,f(ξ1)→f(x),f(ξ2)→f(x),
所以，以上不等式兩邊取極限δx→0
得到，dv/dx=lim(δx→0)[δv/δx]=2πx|f(x)| 《夾逼定理》
從而，dv=2πx|f(x)|dx
作x從a到b得定積分
v=∫[a到b]2πx|f(x)|dx
=2π∫[a到b]x|f(x)|dx
請問，2.3兩題怎麼寫？怎麼用極座標來求面積和繞極軸旋轉的體積？積分上下限怎麼確定？
9樓：
2、極座標求面積
如下圖：
3、極座標求體積
如下圖：
極座標繞極軸旋轉側面積
10樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
11樓：赫祺闞問芙
雙紐線r^2=a^2cos2α 繞極軸旋轉指的是繞著x軸旋轉,該雙紐線的一支在極座標系中α角的範圍是-π/4
旋轉曲面在極座標下的面積公式是什麼（高數）？
12樓：射手奧特曼
旋轉曲面的面積f的微元df=2πyds=2πy√[x'²+y'²]dθ。
曲面是直線或曲線在一定約束條件下的運動軌跡。這根運動的直線或曲線，稱為曲面的母線；曲面上任一位置的母線稱為素線。母線運動時所受的約束，稱為運動的約束條件。
在約束條件中，控制母線運動的直線或曲線稱為導線；控制母線運動的平面稱為導平面。
當動線按照一定的規律運動時，形成的曲面稱為規則曲面；當動線作不規則運動時，形成的曲面稱為不規則曲面。形成曲面的母線可以是直線，也可以是曲線。
如果曲面是由直線運動形成的則稱為直線面(如圓柱面、圓錐面等)；由曲線運動形成的曲面則稱為曲線面(如球面、環面等)。
直線面的連續兩直素線彼此平行或相交(即它們位於同一平面上)，這種能無變形地成一平面的曲面，屬於可展曲面。
如連續兩直素線彼此交叉(即它們不位於同一平面上)的曲面，則屬於不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是應作出決定該曲面各幾何元素的投影，如母線、導線、導面等。
此外，為了清楚地表達一曲面，一般需畫出曲面的外形線，以確定曲面的範圍。
13樓：畫堂晨起
繞極軸的旋轉，其面積=∫2πy ds =∫2πrsinθ√（r^2+r'^2) dθ，where s is arc length。
推導：y = rsinθ；（ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = ((-rsinθ＋r'cosθ）dθ）＾2 + ((rcosθ＋r'sinθ）dθ）＾2 =（r^2+r'^2)(dθ）＾2。
說明：（1）緯圓也可以看作垂直於旋轉軸的平面與旋轉曲面的交線。
（2）旋轉曲面可由母線繞旋轉軸旋轉生成，也可以由緯圓族生成，軸則是緯圓族的連心線。
（3）任一經線都可以作為母線，但母線不一定是經線。
極座標系下求繞極軸旋轉的旋轉體的體積 100
14樓：
極座標系下求繞極軸旋轉的旋轉體的體積具體計算過程如下
用極座標系描述的曲線方程稱作極座標方程，通常表示為r為自變數θ的函式。極座標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(-θ) = r(θ)，則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果r(π-θ) = r(θ)，則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果r(θ-α) = r(θ)，則曲線相當於從極點順時針方向旋轉α°。
擴充套件資料
極座標系的意義
1、用於定位和導航。極座標通常被用於導航，作為旅行的目的地或方向可以作為從所考慮的物體的距離和角度。
2、有些幾何軌跡問題如果用極座標法處理，它的方程比用直角座標法來得簡單，描圖也較方便。2023年，j.貝努利利用極座標引進了雙紐線，這曲線在18世紀起了相當大的作用。
3、建模有徑向對稱的系統提供了極座標系的自然設定，中心點充當了極點。這種用法的一個典型例子是在適用於徑向對稱的水井時候的地下水流方程。有徑向力的系統也適合使用極座標系。
4、行星運動的開普勒定律。開普勒第二定律極座標提供了一個表達在引力場中開普勒行星執行定律的自然數的方法。開普勒第一定律，認為環繞一顆恆星執行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。
極座標下偏導問題,反正我是凌亂了,求大神指點
偏導數符號是表示一個整體,不能把它分開來看,它跟一元函式的導數符號不一樣。最後一步的乘法不能得到結果為1。我剛也遇到來這個問題,懵源了,現在推 出來了。r是x,y的函式,偏r偏x正常計算是正確的,但是把r寫成x cos 時,求偏導不能把 當常數,這時應該將cos 用x,y表示,即cos cos ar...
在極座標系下各類圓錐曲線的公式是怎樣推導的請講過
設直線的斜 來率是k,y n k x m 令x m t,源x m t 則y n kt,y n kt 設x1,x2,是交點的橫坐bai標,由中 du點座標公式可知 x1 x2 2m。即zhim t1 m t2 2m,所以t1 t2 0,這是以下解 dao題的根據。極座標系下速度的推導,最後兩步是怎麼推...
求教一道曲線積分的題,求指教對座標的曲線積分計算橢圓xacosybsin所圍成的面積A
如圖所示，l加上線段oa，組成閉區域d，在d上用格林公式，因為加上了oa段，故再減去oa的線積分。補充線段ao，令ao l為閉合曲線，考慮使用格林公式，將閉合路徑上的曲線積分轉化為二重積分，注意閉合曲線的方向。定積分問題 當圖形邊界曲線為引數方程時，求其面積的定積分公式是什麼啊？求教！20 由連續曲...