1樓：匿名使用者
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1滿足: p'ap = diag(a1,a2,...
,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
2樓：點爺
不好意思啊，我才高中畢業。
a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
3樓：皇怡時宵
^^證:
a是n階實對稱矩陣,
則存在正交矩陣p,
p'=p^-1
滿足:p'ap
=diag(a1,a2,...,an).
其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值回則a對應的二次
答型為:f=
x'ax
令x=py得f
=y'p'
apy=
y'diag(a1,a2,...,an)y=a1y1^2+...+any^n
所以a正定
<=>f正定
<=>ai>0.
即a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
n階實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件為什麼是a逆為
4樓：匿名使用者
實對稱陣a正定的充分必要條件是a的特徵值都為正。而a^(-1)的特徵值都是a的特徵值的倒數，所以：a正定<=>a的特徵值為正<=>a^(-1)的特徵值為正<=>a^(-1)正定。
設a為n階實對稱矩陣，證明：秩（a）=n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣b，使ab+bta是正定矩陣
5樓：猴戳滔
|「必要性」bai（?）
利用反證法
du進行證明．
反設：zhir（a）＜n，則|daoa|=0．於是λ=0是a的特專征值，
假設相應的特徵向量為x，即
屬：ax=0（x≠0），
所以：xtat=0．
從而：xt（ab+bta）x=xtabx+xtbtax=0，與ab+bta是正定矩陣矛盾，故假設不成立．所以，秩（a）=n．
「充分性」（?）
因為 r（a）=n，
所以a的特徵值λ1，λ2，…，λn全不為0．取矩陣b=a，則：ab+bta=aa+aa=2a2，它的特徵值為：2λ
，2λ，…，2λ
n全部為正，
所以ab+bta是正定矩陣．
6樓：左陽曜麻夜
首先知bai道一個定理：
a正定du
<=>存在可逆矩陣c，使
zhi得a=c*c的轉置dao
接下來證明你的題：
版因為a正定
所以存在可逆矩陣c，使權得a=c*c的轉置設c的逆的轉置=d
則d可逆，且
a的逆=d*d的轉置
（對上式兩邊取逆就得到了）
所以a的逆也是正定的
而a*a的伴隨=|a|*e
所以a的伴隨=|a|*a的逆
其中|a|是a的行列式，是一個正數
即為一個正數乘以一個正定陣，所以是正定的
設a是實對稱矩陣，證明a半正定的充要條件是對任意的實數λ>0,(λe+a)正定
7樓：普訙串緟
證明：a是正定或半正定實對稱矩陣的充要條件是a合同與對角矩陣diag(a1,a2,...,an)
其中a1,a2,...,an都是非負數.
即存在可回逆矩陣c,使得c'ac=diag(a1,a2,...,an)
所以答a=(c')^-1diag(a1,a2,...,an)c^-1
=(c')^-1diag(√a1,√a2,...,√an)diag(√a1,√a2,...,√an)c^-1
=[diag(√a1,√a2,...,√an)c^-1]'[diag(√a1,√a2,...,√an)c^-1]
令s=diag(√a1,√a2,...,√an)c^-1
即得a=s's
n階實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件為什麼是a逆為正定矩陣，請大家指教，我要過程
8樓：匿名使用者
先來一些必bai要的陳述，說明實對稱矩du陣a的逆矩zhi陣也是實對稱矩陣，dao進而能討論正定版的問題。
[a^(-1)]^t=[a^t]^(-1)=a^(-1)所以a的逆權矩陣也是實對稱陣。
接下來正式開始證明：
可以從特徵值的角度來看。
必要性：
如果n階實對稱矩陣a為正定矩陣，那麼a的正慣性指數為n，即a的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。由於a的特徵值沒有0，所以a可逆，且a的逆的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的逆的特徵值也都大於0，故a的逆也正定。
充分性：（和必要性證法類似）
如果a的逆矩陣為正定矩陣，那麼它的正慣性指數為n，即a的逆的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。a的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的特徵值也都大於0，故a正定。
n階實對稱矩陣a正定的充要條件是（ ）。
9樓：匿名使用者
應該選d
證明：必要性：
如果n階實對
稱矩陣a為正定矩陣，那麼a的正慣性指數為n，即a的所專有特屬徵值x1,x2,...,xn都大於0。由於a的特徵值沒有0，所以a可逆，且a的逆的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的逆的特徵值也都大於0，故a的逆也正定。
充分性：
如果a的逆矩陣為正定矩陣，那麼它的正慣性指數為n，即a的逆的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。a的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的特徵值也都大於0，故a正定。
設A是n階實對稱矩陣，P是n階可逆矩陣。已知n維列向量是A的屬於特徵值的特徵向量，則矩陣
設矩陣 p 1 ap b，a pbp 1 a pbp 1 所以bp 1 p 1 所以b的特徵向量是p 1 易知轉置的特徵向量和原矩陣特徵向量相同 所以此題答案是p 1 由已知知 a 所以 p ta p t 1 p t p t 所以 p ta p 1 t p t p t 所以 p 1ap t p t ...
設A是n階實對稱矩陣，P是n階可逆矩陣已知n維列向量是A
已知n維列向量 是來a的屬於源特徵值 的特徵向量bai，則 a du p 1ap t pta pt 1，等式zhi兩邊同時乘以daopt 即 p 1ap t pt pta pt 1pt pta pt 故選 b 設a是n階實對稱矩陣，p是n階可逆矩陣。已知n維列向量a是a的屬於特徵值r的特徵向量，則矩...
設A是對角元素互不相等的n階對角矩陣，證明 與A可交換的矩陣只能是對角矩陣
設a diag a1，a2，an a1，an互不相等 b bij nxn，把ab ba寫出來比較一下即得結論 對角矩陣的可交換矩陣也一定是對角矩陣，這個命題如何證明？該對角矩陣中主對角線上的元兩兩不同 設a為對角矩陣，對角線上的元素為ai,i 1,2,n設b bij n n是和a可交換的矩陣。這裡顯...